🔰全序╱total ordering

╱🚧 under construction

集合 ⟩ 關係 ⟩ 二元 ⟩ total ordering╱linear ordering

An total/linear ordering on a set F is a relation (represented by ≤) with the following 3 properties：

• (TO1) 全序性╱totality：x ≤ y or y ≤ x, ∀ x, y ∈ F

• (TO2) 反對稱╱antisymmetry：x ≤ y, y ≤ x => x = y

• (TO3) 遞移性╱transitivity：x ≤ y, y ≤ z => x ≤ z

⭐️ 重點

• 「全序性」代表：

  • (1) 任兩個不同的元素間必定有關係（對稱主對角線的兩個位置不能都是０）

  • (2) 每個元素都跟自己有關係（反身性)(主對角線的所有位置都是１）

• 「反對稱」代表：

  • 不同元素間不能同時有相反的關係，關係只能是單向的，或兩者沒有關係。 (對稱主對角線的兩個位置不能都是１) (主對角線的位置沒任何限制）

「全序性」(totality) 必具有「反身性」(reflexivity)：

$a \ {\color{orange}\simcolon} \ a, \ \forall a \in A$

換句話說，一個 total order 也一定是個 partial order。

x < y means x ≤ y, x ≠ y

📗 參考

• Understanding Analysis ⟩ 8.6 A Construction of R From Q, Def. 8.6.5 (p.299)

👥 相關

• 「有序體 (ordered field)」

• 建造實數系 ⟩ 實數順序：a ≤ b