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🚧非負實數乘法

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數學 ⟩ 數系 ⟩ 實數 ⟩ 建造 ⟩ 乘法 ⟩ 非負實數乘法

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若 a,b∈R{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \in {\color{orange}\mathbb{R}}，當 a,b≥𝟘{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}} 時，定義：

ab={ pq∈Q ∣ 0≤p∈a, 0≤q∈b}∪𝟘{\color{orange}ab} = \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \} \cup {\color{orange}\mathbb{𝟘}}

⭐ 註： 𝟘=(−∞,0)={ p∈Q ∣ p<0 }{\color{orange}\mathbf{𝟘}} = (-\infty, 0 ) = \{ \ p \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ p < 0 \ \}

首先，必須證明 ab∈R{\color{orange}ab} \in \color{orange}\mathbb{R}，否則乘法沒有「封閉性」就無法構成一個數系(field)。

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乘法封閉性

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當 a,b≥𝟘{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}} 時： ab∈R{\color{orange}ab} \in \color{orange}\mathbb{R} （乘法封閉性）

要證明 ab{\color{orange}ab} 是一個「戴德金分割」，必須符合下列三條件：

  • DC1 (非特化)：ab≠ϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}（ ∃p∈ab,∃x∉ab\exists p \in {\color{orange}ab}, \exists x \notin {\color{orange}ab} ）

  • DC2 (左半線)：p<q ∧ q∈ab  ⟹  p∈abp < q \ \land \ q \in {\color{orange}ab}\implies p \in {\color{orange}ab}

  • DC3 (開放性)：p∈ab  ⟹  ∃q∈ab, ∋p<qp \in {\color{orange}ab}\implies \exists q \in {\color{orange}ab}, \ \ni p < q (ab{\color{orange}ab} 沒有最大值)

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⑴ DC1 (非特化)：ab≠ϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}（ ∃p∈ab,∃x∉ab\exists p \in {\color{orange}ab}, \exists x \notin {\color{orange}ab} ）

  1. 因為： 𝟘⊆ab{\color{orange}\mathbb{𝟘}} \subseteq {\color{orange}ab}，所以： ab≠ϕ{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}

  2. 因為： a,b∈R{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \in {\color{orange}\mathbb{R}}，根據「戴德金分割」定義 DC1 ： 　⇨　 ∃α,β∈Q, ∋α∉a, β∉b\exists \alpha, \beta \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \ \ni \alpha \notin {\color{orange}a}, \ \beta \notin {\color{orange}b} ， 但因為： a≥𝟘, b≥𝟘{\color{orange}a} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, \, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}，也就是 a⊇𝟘, b⊇𝟘{\color{orange}a} \supseteq {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, \, {\color{orange}b} \supseteq {\color{orange}\mathbb{𝟘}}， 所以 α≥0,β≥0\alpha \ge 0, \beta \ge 0 必須成立，否則會導致 α∈a\alpha \in {\color{orange}a} 或 β∈b\beta \in {\color{orange}b} 而矛盾。

  3. 從上一點可知 αβ≥0\alpha \beta \ge 0，所以： αβ∉𝟘\alpha \beta \notin {\color{orange}\mathbb{𝟘}}

  4. 另外，根據「戴德金分割」性質： α,β\alpha, \beta 必分別為 a,b{\color{orange}a, b} 的上界，因此若存在 0≤p∈a, 0≤q∈b0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b}，則： 　⇨　 0≤p<α, 0≤q<β0 \le p < \alpha, \ 0 \le q < \beta 　⇨　 pq<αβpq < \alpha \beta 因此 αβ∉{ pq∈Q ∣ 0≤p∈a, 0≤q∈b}\alpha \beta \notin \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \}

  5. 綜合以上 (3)(4) 兩點： αβ∉ab\alpha \beta \notin {\color{orange}ab}

  6. 綜合以上 (1)(5) 兩點： ab≠ϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}} ▨

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