🚧非負實數乘法

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數學數系實數建造乘法 ⟩ 非負實數乘法

註: 𝟘=(,0)={ pQ  p<0 }{\color{orange}\mathbf{𝟘}} = (-\infty, 0 ) = \{ \ p \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ p < 0 \ \}

首先,必須證明 abR{\color{orange}ab} \in \color{orange}\mathbb{R},否則乘法沒有「封閉性」就無法構成一個數系(field)。

乘法封閉性

a,b𝟘{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}} 時: abR{\color{orange}ab} \in \color{orange}\mathbb{R}乘法封閉性

要證明 ab{\color{orange}ab} 是一個「戴德金分割」,必須符合下列三條件:

  • DC1 (非特化):abϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}pab,xab\exists p \in {\color{orange}ab}, \exists x \notin {\color{orange}ab}

  • DC2 (左半線):p<q  qab    pabp < q \ \land \ q \in {\color{orange}ab}\implies p \in {\color{orange}ab}

  • DC3 (開放性):pab    qab, p<qp \in {\color{orange}ab}\implies \exists q \in {\color{orange}ab}, \ \ni p < q (ab{\color{orange}ab} 沒有最大值)

DC1 (非特化):abϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}pab,xab\exists p \in {\color{orange}ab}, \exists x \notin {\color{orange}ab}

  1. 因為: 𝟘ab{\color{orange}\mathbb{𝟘}} \subseteq {\color{orange}ab},所以: abϕ{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}

  2. 因為: a,bR{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \in {\color{orange}\mathbb{R}},根據「戴德金分割」定義 DC1 :  ⇨  α,βQ, αa, βb\exists \alpha, \beta \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \ \ni \alpha \notin {\color{orange}a}, \ \beta \notin {\color{orange}b} , 但因為: a𝟘,b𝟘{\color{orange}a} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, \, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}},也就是 a𝟘,b𝟘{\color{orange}a} \supseteq {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, \, {\color{orange}b} \supseteq {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, 所以 α0,β0\alpha \ge 0, \beta \ge 0 必須成立,否則會導致 αa\alpha \in {\color{orange}a}βb\beta \in {\color{orange}b} 而矛盾。

  3. 從上一點可知 αβ0\alpha \beta \ge 0,所以: αβ𝟘\alpha \beta \notin {\color{orange}\mathbb{𝟘}}

  4. 另外,根據「戴德金分割」性質: α,β\alpha, \beta 必分別為 a,b{\color{orange}a, b}上界,因此若存在 0pa, 0qb0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b},則:  ⇨  0p<α, 0q<β0 \le p < \alpha, \ 0 \le q < \beta  ⇨  pq<αβpq < \alpha \beta 因此 αβ{ pqQ  0pa, 0qb}\alpha \beta \notin \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \}

  5. 綜合以上 (3)(4) 兩點: αβab\alpha \beta \notin {\color{orange}ab}

  6. 綜合以上 (1)(5) 兩點: abϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}

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