🚧非負實數乘法

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若 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \in {\color{orange}\mathbb{R}}$，當 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 時，定義：

${\color{orange}ab} = \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \} \cup {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$

⭐ 註： ${\color{orange}\mathbf{𝟘}} = (-\infty, 0 ) = \{ \ p \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ p < 0 \ \}$

👥 先備知識

• 實數定義

• 零元素 𝟘

• 加法反元素 -a

⬇️ 推論

📗 參考

首先，必須證明 ${\color{orange}ab} \in \color{orange}\mathbb{R}$，否則乘法沒有「封閉性」就無法構成一個數系(field)。

乘法封閉性

當 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 時： ${\color{orange}ab} \in \color{orange}\mathbb{R}$ （乘法封閉性）

要證明 ${\color{orange}ab}$ 是一個「戴德金分割」，必須符合下列三條件：

• DC1 (非特化)：${\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$（ $\exists p \in {\color{orange}ab}, \exists x \notin {\color{orange}ab}$ ）

• DC2 (左半線)：$p < q \ \land \ q \in {\color{orange}ab}\implies p \in {\color{orange}ab}$

• DC3 (開放性)：$p \in {\color{orange}ab}\implies \exists q \in {\color{orange}ab}, \ \ni p < q$ (${\color{orange}ab}$ 沒有最大值)

DC1

⑴ DC1 (非特化)：${\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$（ $\exists p \in {\color{orange}ab}, \exists x \notin {\color{orange}ab}$ ）

1. 因為： ${\color{orange}\mathbb{𝟘}} \subseteq {\color{orange}ab}$，所以： ${\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}$

2. 因為： ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \in {\color{orange}\mathbb{R}}$，根據「戴德金分割」定義 DC1 ： 　⇨　 $\exists \alpha, \beta \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \ \ni \alpha \notin {\color{orange}a}, \ \beta \notin {\color{orange}b}$ ， 但因為： ${\color{orange}a} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, \, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$，也就是 ${\color{orange}a} \supseteq {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, \, {\color{orange}b} \supseteq {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$， 所以 $\alpha \ge 0, \beta \ge 0$ 必須成立，否則會導致 $\alpha \in {\color{orange}a}$ 或 $\beta \in {\color{orange}b}$ 而矛盾。

3. 從上一點可知 $\alpha \beta \ge 0$，所以： $\alpha \beta \notin {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$

4. 另外，根據「戴德金分割」性質： $\alpha, \beta$ 必分別為 ${\color{orange}a, b}$ 的上界，因此若存在 $0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b}$，則： 　⇨　 $0 \le p < \alpha, \ 0 \le q < \beta$ 　⇨　 $pq < \alpha \beta$ 因此 $\alpha \beta \notin \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \}$

5. 綜合以上 (3)(4) 兩點： $\alpha \beta \notin {\color{orange}ab}$

6. 綜合以上 (1)(5) 兩點： ${\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$ ▨

DC2

DC3