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數學 ⟩ 數系 ⟩ 實數 ⟩ 建造 ⟩ 乘法 ⟩ 非負實數乘法
若 a,b∈R{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \in {\color{orange}\mathbb{R}}a,b∈R，當 a,b≥𝟘{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}a,b≥𝟘 時，定義：
ab={ pq∈Q ∣ 0≤p∈a, 0≤q∈b}∪𝟘{\color{orange}ab} = \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \} \cup {\color{orange}\mathbb{𝟘}}ab={ pq∈Q ∣ 0≤p∈a, 0≤q∈b}∪𝟘
註： 𝟘=(−∞,0)={ p∈Q ∣ p<0 }{\color{orange}\mathbf{𝟘}} = (-\infty, 0 ) = \{ \ p \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ p < 0 \ \}𝟘=(−∞,0)={ p∈Q ∣ p<0 }
實數定義
零元素 𝟘
加法反元素 -a
非負實數運算性質
Understanding Analysis ⟩ 8.6 A Construction of R From Q
首先，必須證明 ab∈R{\color{orange}ab} \in \color{orange}\mathbb{R}ab∈R，否則乘法沒有「封閉性」就無法構成一個數系(field)。
當 a,b≥𝟘{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}a,b≥𝟘 時： ab∈R{\color{orange}ab} \in \color{orange}\mathbb{R}ab∈R （乘法封閉性）
要證明 ab{\color{orange}ab}ab 是一個「戴德金分割」，必須符合下列三條件：
DC1 (非特化)：ab≠ϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}ab=ϕ, Q（ ∃p∈ab,∃x∉ab\exists p \in {\color{orange}ab}, \exists x \notin {\color{orange}ab}∃p∈ab,∃x∈/ab ）
DC2 (左半線)：p<q ∧ q∈ab ⟹ p∈abp < q \ \land \ q \in {\color{orange}ab}\implies p \in {\color{orange}ab}p<q ∧ q∈ab⟹p∈ab
DC3 (開放性)：p∈ab ⟹ ∃q∈ab, ∋p<qp \in {\color{orange}ab}\implies \exists q \in {\color{orange}ab}, \ \ni p < qp∈ab⟹∃q∈ab, ∋p<q (ab{\color{orange}ab}ab 沒有最大值)
⑴ DC1 (非特化)：ab≠ϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}ab=ϕ, Q（ ∃p∈ab,∃x∉ab\exists p \in {\color{orange}ab}, \exists x \notin {\color{orange}ab}∃p∈ab,∃x∈/ab ）
因為： 𝟘⊆ab{\color{orange}\mathbb{𝟘}} \subseteq {\color{orange}ab}𝟘⊆ab，所以： ab≠ϕ{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}ab=ϕ
因為： a,b∈R{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \in {\color{orange}\mathbb{R}}a,b∈R，根據「戴德金分割」定義 DC1 ： ⇨ ∃α,β∈Q, ∋α∉a, β∉b\exists \alpha, \beta \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \ \ni \alpha \notin {\color{orange}a}, \ \beta \notin {\color{orange}b}∃α,β∈Q, ∋α∈/a, β∈/b ， 但因為： a≥𝟘, b≥𝟘{\color{orange}a} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, \, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}a≥𝟘,b≥𝟘，也就是 a⊇𝟘, b⊇𝟘{\color{orange}a} \supseteq {\color{orange}\mathbb{𝟘}}, \, {\color{orange}b} \supseteq {\color{orange}\mathbb{𝟘}}a⊇𝟘,b⊇𝟘， 所以 α≥0,β≥0\alpha \ge 0, \beta \ge 0α≥0,β≥0 必須成立，否則會導致 α∈a\alpha \in {\color{orange}a}α∈a 或 β∈b\beta \in {\color{orange}b}β∈b 而矛盾。
從上一點可知 αβ≥0\alpha \beta \ge 0αβ≥0，所以： αβ∉𝟘\alpha \beta \notin {\color{orange}\mathbb{𝟘}}αβ∈/𝟘
另外，根據「戴德金分割」性質： α,β\alpha, \betaα,β 必分別為 a,b{\color{orange}a, b}a,b 的上界，因此若存在 0≤p∈a, 0≤q∈b0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b}0≤p∈a, 0≤q∈b，則： ⇨ 0≤p<α, 0≤q<β0 \le p < \alpha, \ 0 \le q < \beta0≤p<α, 0≤q<β ⇨ pq<αβpq < \alpha \betapq<αβ 因此 αβ∉{ pq∈Q ∣ 0≤p∈a, 0≤q∈b}\alpha \beta \notin \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \}αβ∈/{ pq∈Q ∣ 0≤p∈a, 0≤q∈b}
綜合以上 (3)(4) 兩點： αβ∉ab\alpha \beta \notin {\color{orange}ab}αβ∈/ab
綜合以上 (1)(5) 兩點： ab≠ϕ, Q{\color{orange}ab} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}ab=ϕ, Q ▨
⑵ DC2 (左半線)：p<q ∧ q∈ab ⟹ p∈abp < q \ \land \ q \in {\color{orange}ab}\implies p \in {\color{orange}ab}p<q ∧ q∈ab⟹p∈ab
（以下 p,q∈Qp, q \in {\color{orange}\mathbb{Q}}p,q∈Q）
若 p<qp < qp<q 且 q∈abq \in {\color{orange}ab}q∈ab，則：
狀況一： p<0p<0p<0，則： p∈𝟘⊆abp \in {\color{orange}\mathbb{𝟘}} \subseteq {\color{orange}ab}p∈𝟘⊆ab
狀況二： p≥0p \ge 0p≥0，則： 0≤p<q∈{ rs∈Q ∣ 0≤r∈a, 0≤s∈b}0 \le p < q \in \{ \ rs \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le r \in {\color{orange}a}, \ 0 \le s \in {\color{orange}b} \}0≤p<q∈{ rs∈Q ∣ 0≤r∈a, 0≤s∈b} 假設： q=rsq=rsq=rs 其中 0<r∈a, 0<s∈b0 < r \in {\color{orange}a}, \ 0 < s \in {\color{orange}b}0<r∈a, 0<s∈b (註： r,s≠0r, s \neq 0r,s=0 否則 q=0q=0q=0 ) ⇨ p=q⋅pq=rs⋅pq=r(s⋅pq)p = q\cdot \frac{p}{q} = rs \cdot \frac{p}{q} = r \left( s \cdot \frac{p}{q} \right)p=q⋅qp=rs⋅qp=r(s⋅qp) 令： s′=s⋅pqs' = s \cdot \frac{p}{q} s′=s⋅qp ，因為： 0≤pq<10 \le \frac{p}{q} < 10≤qp<1 ⇨ 0≤s⋅pq<s0 \le s \cdot\frac{p}{q} < s0≤s⋅qp<s ⇨ 0≤s′<s0\le s' < s 0≤s′<s 根據「戴德金分割」DC2 (左半線)性質： s′<s ⟹ s′∈bs'<s \implies s'\in {\color{orange}b}s′<s⟹s′∈b 因此： p=rs′∈{ rs∈Q ∣ 0≤r∈a, 0≤s∈b}⊆abp=rs' \in \{ \ rs \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le r \in {\color{orange}a}, \ 0 \le s \in {\color{orange}b} \} \subseteq {\color{orange}ab}p=rs′∈{ rs∈Q ∣ 0≤r∈a, 0≤s∈b}⊆ab
根據以上兩點： p∈abp \in {\color{orange}ab}p∈ab ▨
⑶ DC3 (開放性)：p∈ab ⟹ ∃q∈ab, ∋p<qp \in {\color{orange}ab}\implies \exists q \in {\color{orange}ab}, \ \ni p < qp∈ab⟹∃q∈ab, ∋p<q (ab{\color{orange}ab}ab 沒有最大值)
若 p∈abp \in {\color{orange}ab}p∈ab，則：
狀況一： p∈𝟘p \in {\color{orange}\mathbb{𝟘}} p∈𝟘，也就是 p<0p<0p<0， 令 q=p2q = \frac{p}{2}q=2p，則 p<q<0p<q<0p<q<0 ，因此 q∈𝟘⊆abq \in {\color{orange}\mathbb{𝟘}} \subseteq {\color{orange}ab}q∈𝟘⊆ab
狀況二： p∈{ rs∈Q ∣ 0≤r∈a, 0≤s∈b}p \in \{ \ rs \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le r \in {\color{orange}a}, \ 0 \le s \in {\color{orange}b} \}p∈{ rs∈Q ∣ 0≤r∈a, 0≤s∈b} 假設： p=rsp=rsp=rs 其中 0≤r∈a, 0≤s∈b0 \le r \in {\color{orange}a}, \ 0 \le s \in {\color{orange}b}0≤r∈a, 0≤s∈b 根據「戴德金分割」DC3 (開放性)性質： ∃r′,s′∈Q,∋r<r′∈a, s<s′∈b\exists r',s' \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \ni r<r' \in {\color{orange}a}, \ s<s' \in {\color{orange}b}∃r′,s′∈Q,∋r<r′∈a, s<s′∈b 令： q=r′s′q=r's'q=r′s′ ，則： q∈{ rs∈Q ∣ 0≤r∈a, 0≤s∈b}⊆abq \in \{ \ rs \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le r \in {\color{orange}a}, \ 0 \le s \in {\color{orange}b} \} \subseteq {\color{orange}ab}q∈{ rs∈Q ∣ 0≤r∈a, 0≤s∈b}⊆ab 且 p=rs<r′s′=qp = rs < r's'=qp=rs<r′s′=q
根據以上兩點： ∃q∈ab, ∋p<q\exists q \in {\color{orange}ab}, \ \ni p < q∃q∈ab, ∋p<q ▨
