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線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 平行向量
若兩向量有倍數關係，我們就說此兩向量「平行」：
u=kv or v=ku (k∈R) ⟺ u∥v\mathbf{u} = {\color{orange}k} \mathbf{v} \text{ or } \mathbf{v} = {\color{orange}k} \mathbf{u} \ ({\color{orange}k} \in \mathbb{R}) \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}u=kv or v=ku (k∈R)⟺u∥v
注意：此兩向量可以是零向量
下列各點是等價的：
u∥v\mathbf{u} \parallel \mathbf{v}u∥v
u=kv or v=ku (k∈R)\mathbf{u} = {\color{orange}k} \mathbf{v} \text{ or } \mathbf{v} = {\color{orange}k} \mathbf{u} \ ({\color{orange}k} \in \mathbb{R}) u=kv or v=ku (k∈R)
{u,v}\{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \}{u,v} 線性相依 (linearly dependent)
u×v=0\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \mathbf{0}u×v=0 (適用於： R2\mathbb{R}^2R2, R3\mathbb{R}^3R3, C\mathbb{C}C)
🎖 證明：
零向量平行於任何向量
u⊥v , u∥v ⟺ u=0 or v=0\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \ , \ \mathbf{u} \parallel \mathbf{v} \iff \mathbf{u} = \mathbf{0} \text{ or } \mathbf{v} = \mathbf{0}u⊥v , u∥v⟺u=0 or v=0
🎖 證明： (由向量長度性質 1, 3 可得)
向量垂直分解
向量長度 ⟩ 性質 1, 3
向量外積性質
向量分解
圓弧插值法
「向量除法」性質 2： (uv)−1=vu ⟺ u∥v\left(\dfrac{\mathbf{\color{orange}u}}{\mathbf{v}}\right)^{-1} = \dfrac{\mathbf{v}}{\mathbf{\color{orange}u}} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}(vu)−1=uv⟺u∥v ( u,v≠0\mathbf{u}, \mathbf{v} \neq \mathbf{0}u,v=0 )
平行向量性質可用於證明：
四元數乘法可交換之條件（性質 5）
四元數除法性質
垂直向量
