🔸平行向量

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 平行向量

若兩向量有倍數關係，我們就說此兩向量「平行」：

$\mathbf{u} = {\color{orange}k} \mathbf{v} \text{ or } \mathbf{v} = {\color{orange}k} \mathbf{u} \ ({\color{orange}k} \in \mathbb{R}) \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$

⭐ 注意：此兩向量可以是零向量❗

🔸 性質

1. 下列各點是等價的：

   • $\mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$

   • $\mathbf{u} = {\color{orange}k} \mathbf{v} \text{ or } \mathbf{v} = {\color{orange}k} \mathbf{u} \ ({\color{orange}k} \in \mathbb{R})$

   • $\{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \}$ 線性相依 (linearly dependent)

   • $\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \mathbf{0}$ (適用於： $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{C}$)

🎖 證明： 👉

1. 零向量平行於任何向量❗

1. $\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \ , \ \mathbf{u} \parallel \mathbf{v} \iff \mathbf{u} = \mathbf{0} \text{ or } \mathbf{v} = \mathbf{0}$

🎖 證明： (由向量長度性質 1, 3 可得)

⬆️ 需要

• 向量垂直分解

• 向量長度 ⟩ 性質 1, 3

• 向量外積性質

⬇️ 應用

• 向量分解

  • 向量垂直分解

  • 圓弧插值法

• 「向量除法」性質 2： $\left(\dfrac{\mathbf{\color{orange}u}}{\mathbf{v}}\right)^{-1} = \dfrac{\mathbf{v}}{\mathbf{\color{orange}u}} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$ ( $\mathbf{u}, \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ )

• 平行向量性質可用於證明：

  • 四元數乘法可交換之條件（性質 5）

  • 四元數除法性質

👥 相關

• 垂直向量