外積

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 運算 ⟩ 外積 ( 同義詞："cross product")

「平面外積」： $\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}$
「空間外積」： $\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$
「四元數外積」： $\mathbf{p} \times \mathbf{q} = ( {\color{orange}s} + \mathbf{u}) \times ( {\color{orange}t} + \mathbf{v}) = -{\color{orange}s} \mathbf{v} + {\color{orange}t} \mathbf{u} + (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$

(反交換律)： $\mathbf{u}\times\mathbf{v} = -\mathbf{v}\times\mathbf{u}$
(左分配律)： $\mathbf{u}\times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u}\times\mathbf{v} + \mathbf{u}\times\mathbf{w}$ (右分配律也成立)
(類結合律)： $k(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = (k\mathbf{u})\times\mathbf{v} = \mathbf{u}\times(k\mathbf{v})$
$\mathbf{v}\times\mathbf{v}=0$
$|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| \le \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|$
$\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|= \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \sin\theta$
$\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \mathbf{0} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$ ( 平行向量性質)

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