🚧轉置矩陣

🚧 under construction -> 方陣, 可逆矩陣

線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 運算 ⟩ 轉置矩陣 ("transpose")

將矩陣 $\mathbf{A}$ 的行列互換，所得到的矩陣就稱為「轉置矩陣」，以 ${\color{orange}\mathbf{A}^T}$ 表示。

$(\mathbf{A}^T)_{ij} = \mathbf{A}_{ji}$

🔸 性質

1. (1) $(\mathbf{A}_{{\color{orange}{i}} *} )^T =\left(\mathbf{A}^T \right)_{*\color{orange}{i}}$ 「$\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列」轉置後變成「${\color{orange}\mathbf{A}^T}$ 的第 $i$ 行」 (2) $(\mathbf{A}_{* {\color{orange}{j}} } )^T =\left(\mathbf{A}^T \right)_{{\color{orange}{j}} *}$ 「$\mathbf{A}$ 的第 $j$ 行」轉置後變成「${\color{orange}\mathbf{A}^T}$ 的第 $j$ 列」

1. $\mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T$

• 需要：矩陣乘法表格化、行向量 ⨉ 列向量引理。

• 證明：👉

1. $\mathbf{A} \to {\color{orange}\mathbf{A}^T}$ 是一種線性變換：

   • $(\mathbf{A+B})^{\color{orange}T} = \mathbf{A}^{\color{orange}T} + \mathbf{B}^{\color{orange}T}$

   • $({\color{orange}k}\mathbf{A})^{\color{orange}T} = {\color{orange}k} (\mathbf{A}^{\color{orange}T})$

1. 若 $\mathbf{M}$ 為可逆方陣，則：$\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T = \left(\mathbf{M}^{T}\right)^{-1}$

• 證明： $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T \mathbf{M}^T = \left(\mathbf{M} \mathbf{M}^{-1}\right)^T = \mathbf{I}^T = \mathbf{I}$ ▨

• 相關： 變換法向量

⭐️ 重點

1. 轉置後的行列數會跟原來不同 (除非它是個方陣)❗

1. $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T$ 稱為 $\mathbf{M}$ 的 "inverse transpose"。 👉 變換法向量

👥 相關

• 反方陣

• 正交矩陣

• 變換法向量

📗 參考

• Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004)