🚧轉置矩陣

🚧 under construction -> 方陣, 可逆矩陣

線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 運算 ⟩ 轉置矩陣 ("transpose")

將矩陣 A\mathbf{A} 的行列互換，所得到的矩陣就稱為「轉置矩陣」，以 AT{\color{orange}\mathbf{A}^T} 表示。

(AT)ij=Aji(\mathbf{A}^T)_{ij} = \mathbf{A}_{ji}

  1. (1) (Ai∗)T=(AT)∗i(\mathbf{A}_{{\color{orange}{i}} *} )^T =\left(\mathbf{A}^T \right)_{*\color{orange}{i}} 「A\mathbf{A} 的第 ii 列」轉置後變成「AT{\color{orange}\mathbf{A}^T} 的第 ii 行」 (2) (A∗j)T=(AT)j∗(\mathbf{A}_{* {\color{orange}{j}} } )^T =\left(\mathbf{A}^T \right)_{{\color{orange}{j}} *} 「A\mathbf{A} 的第 jj 行」轉置後變成「AT{\color{orange}\mathbf{A}^T} 的第 jj 列」

  1. (AB)T=BTAT\mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T

  1. A→AT\mathbf{A} \to {\color{orange}\mathbf{A}^T} 是一種線性變換：

    • (A+B)T=AT+BT(\mathbf{A+B})^{\color{orange}T} = \mathbf{A}^{\color{orange}T} + \mathbf{B}^{\color{orange}T}

    • (kA)T=k(AT)({\color{orange}k}\mathbf{A})^{\color{orange}T} = {\color{orange}k} (\mathbf{A}^{\color{orange}T})

  1. 若 M\mathbf{M} 為可逆方陣，則：(M−1)T=(MT)−1\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T = \left(\mathbf{M}^{T}\right)^{-1}

  • 證明： (M−1)TMT=(MM−1)T=IT=I\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T \mathbf{M}^T = \left(\mathbf{M} \mathbf{M}^{-1}\right)^T = \mathbf{I}^T = \mathbf{I} ▨

  • 相關： 變換法向量

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