🔸向量長度

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 運算 ⟩ 向量長度

這裡定義的向量長度只適用於 $\mathbb{R}ⁿ$ ，更廣義的向量長度，要依相對的向量空間而定❗️

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$

🔸 性質

1. $\|\mathbf{v}\| = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$

2. $\|\mathbf{v}\|^2 = \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$ (長度 -> 內積)

3. $\|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 = |\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|^2 + \| \mathbf{u}\times\mathbf{v} \|^2$ (適用於： $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$)

4. $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}| \le \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|$

5. $\|\mathbf{u+v}\| \le \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$ (三角不等式)

• 🎖 證明： (3) 👉 四元數長度性質

⬇️ 應用

• 「平行向量」性質 3： $\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \ , \ \mathbf{u} \parallel \mathbf{v} \iff \mathbf{u} = \mathbf{0} \text{ or } \mathbf{v} = \mathbf{0}$

• 「向量除法」性質 2： $\left(\dfrac{\mathbf{\color{orange}u}}{\mathbf{v}}\right)^{-1} = \dfrac{\mathbf{v}}{\mathbf{\color{orange}u}} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$ ( $\mathbf{u}, \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ )

👥 相關

• 👉 比較：內積性質

• 複數長度的定義就是向量長度的定義。

• 四元數外積