🚧Field╱體

╱ 🚧 -> 列出明確的條件

代數 ⟩ 系統 ⟩ 體 (field)

A field is a commutative ring with unity in which every nonzero element is a unit.

「交換環╱commutative ring」 $(\mathbf{R,+,\cdot)}$ 的兩個必要運算：

• 加法： $a+b \in \mathbf{R}$ (加法封閉性)

• 乘法： $a\cdot b \in \mathbf{R}$ (乘法封閉性) (註：習慣上會省略乘法符號)

且兩運算符合以下 8 條件：

• A1：加法結合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$

• A2：加法零元素： $a + {\color{orange}\mathbf{0}} = a$

• A3：加法反元素： $a+ ({\color{orange}-a}) = \mathbf{0}$

• A4：加法交換律： $a+b=b+a$

• M1：乘法結合律： $(ab)c=a(bc)$

• M4：乘法交換律： $ab=ba$（⭐️ M4 為交換環特有性質，其他為環的性質）

• D1：左分配律： $a(b+c)=ab+ac$

• D2：右分配律： $(a+b)c=ac+bc$

「體」有別於「交換環」的特有性質：

• M2：乘法單位元素： ${\color{orange}\mathbf{1}} a=a {\color{orange}\mathbf{1}}=a$

• M3：乘法反元素： $a {\color{orange}a^{-1}} = {\color{orange}a^{-1}} a = \mathbf{1} \ (a \neq \mathbf{0})$

🗺️ 圖表

代數結構

👥 相關

• 實數 ⟩ 建造 ⟩ 定義實數加法 a + b

• 「field╱體」的範例： 實數 ℝ、複數 ℂ

📗 參考

• Socratica ⟩ Abstract Algebra Playlist ⭐️

• Contemporary Abstract Algebra (2017), Ch. 13 Integral Domains, p.239

🖥️ 影片

Field Definition

Field Examples