╱ 🚧 -> 列出明確的條件
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⟩ ⟩ 體 (field)
A field is a with in which every nonzero element is a .
「╱commutative ring」 (R,+,⋅)(\mathbf{R,+,\cdot)}(R,+,⋅) 的兩個必要運算：
加法： a+b∈Ra+b \in \mathbf{R}a+b∈R (加法封閉性)
乘法： a⋅b∈Ra\cdot b \in \mathbf{R}a⋅b∈R (乘法封閉性) (註：習慣上會省略乘法符號)
且兩運算符合以下 8 條件：
A1：加法結合律： (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)
A2：加法零元素： a+0=aa + {\color{orange}\mathbf{0}} = aa+0=a
A3：加法反元素： a+(−a)=0a+ ({\color{orange}-a}) = \mathbf{0}a+(−a)=0
A4：加法交換律： a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a
M1：乘法結合律： (ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)
M4：乘法交換律： ab=baab=baab=ba（⭐️ M4 為特有性質，其他為的性質）
D1：左分配律： a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac
D2：右分配律： (a+b)c=ac+bc(a+b)c=ac+bc(a+b)c=ac+bc
「體」有別於「」的特有性質：
M2：乘法單位元素： 1a=a1=a{\color{orange}\mathbf{1}} a=a {\color{orange}\mathbf{1}}=a1a=a1=a
M3：乘法反元素： aa−1=a−1a=1 (a≠0)a {\color{orange}a^{-1}} = {\color{orange}a^{-1}} a = \mathbf{1} \ (a \neq \mathbf{0})aa−1=a−1a=1 (a=0)
「field╱體」的範例： 實數 ℝ、複數 ℂ
Contemporary Abstract Algebra (2017), Ch. 13 Integral Domains, p.239
⟩ ⟩ 定義實數加法 a + b
Socratica ⟩ ⭐️
