四元數外積

🚧 under construction -> 1). T(q) = p x q 線性變換 2). [T] 矩陣

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四元數外積

🚧 under construction -> 1). T(q) = p x q 線性變換 2). [T] 矩陣

⟩ ⟩ ⟩ 外積

如果比較： $\mathbf{\overline{p}} \mathbf{q} = \underbrace{ st + (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) }_{\text{scalar part}} \ + \ \underbrace{ s \mathbf{v} - t \mathbf{u} - (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) }_{\text{vector part}}$ $\mathbf{\overline{u}} \mathbf{v} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) - (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$
也許我們可以將「四元數的外積」定義為：

$\mathbf{p} \times \mathbf{q} = ( {\color{orange}s} + \mathbf{u}) \times ( {\color{orange}t} + \mathbf{v}) = -{\color{orange}s} \mathbf{v} + {\color{orange}t} \mathbf{u} + (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$

${\color{orange}s} \times {\color{orange}t} = \mathbf{0}$ （兩純量外積為零）
${\color{orange}s} \times \mathbf{v} = - {\color{orange}s}\mathbf{v}$

$\mathbf{q} \times \mathbf{q} = \mathbf{0}$
(反交換律)： $\mathbf{q} \times \mathbf{p} = - (\mathbf{p} \times \mathbf{q})$
(類結合律)： ${\color{orange}k}(\mathbf{p}\times\mathbf{q}) = ({\color{orange}k}\mathbf{p})\times\mathbf{q} = \mathbf{p}\times({\color{orange}k}\mathbf{q})$
(左分配律)： $\mathbf{p}\times (\mathbf{q} + \mathbf{r}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{p}\times\mathbf{r}$ (右分配律也成立)

比較：
🎖 證明： 4. 5. 6.

$\mathbf{\overline{p}} \mathbf{q} = \underbrace{ (\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) }_{\text{scalar part}} \underbrace{ - (\mathbf{p} \times \mathbf{q}) }_{\text{vector part}}$
$\|\mathbf{p}\|^2 \|\mathbf{q}\|^2 = |\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}|^2 + \| \mathbf{p}\times\mathbf{q} \|^2$ (可由上式證得)

比較：向量長度
(7) 式可視為是四元數的擴充。

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⟩ ⟩ ⟩ 外積

如果比較： $\mathbf{\overline{p}} \mathbf{q} = \underbrace{ st + (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) }_{\text{scalar part}} \ + \ \underbrace{ s \mathbf{v} - t \mathbf{u} - (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) }_{\text{vector part}}$ $\mathbf{\overline{u}} \mathbf{v} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) - (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$
也許我們可以將「四元數的外積」定義為：

${\color{orange}s} \times {\color{orange}t} = \mathbf{0}$ （兩純量外積為零）
${\color{orange}s} \times \mathbf{v} = - {\color{orange}s}\mathbf{v}$

$\mathbf{q} \times \mathbf{q} = \mathbf{0}$
(反交換律)： $\mathbf{q} \times \mathbf{p} = - (\mathbf{p} \times \mathbf{q})$
(類結合律)： ${\color{orange}k}(\mathbf{p}\times\mathbf{q}) = ({\color{orange}k}\mathbf{p})\times\mathbf{q} = \mathbf{p}\times({\color{orange}k}\mathbf{q})$
(左分配律)： $\mathbf{p}\times (\mathbf{q} + \mathbf{r}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{p}\times\mathbf{r}$ (右分配律也成立)

比較：
🎖 證明： 4. 5. 6.

$\mathbf{\overline{p}} \mathbf{q} = \underbrace{ (\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) }_{\text{scalar part}} \underbrace{ - (\mathbf{p} \times \mathbf{q}) }_{\text{vector part}}$
$\|\mathbf{p}\|^2 \|\mathbf{q}\|^2 = |\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}|^2 + \| \mathbf{p}\times\mathbf{q} \|^2$ (可由上式證得)

比較：向量長度
(7) 式可視為是四元數的擴充。