🚧四元數外積

🚧 under construction -> 1). T(q) = p x q 線性變換 2). [T] 矩陣

數系 ⟩ 四元數 ⟩ 運算 ⟩ 外積

• 如果比較四元數乘法性質 4, 8： $\mathbf{\overline{p}} \mathbf{q} = \underbrace{ st + (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) }_{\text{scalar part}} \ + \ \underbrace{ s \mathbf{v} - t \mathbf{u} - (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) }_{\text{vector part}}$ $\mathbf{\overline{u}} \mathbf{v} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) - (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$

• 也許我們可以將「四元數的外積」定義為：

$\mathbf{p} \times \mathbf{q} = ( {\color{orange}s} + \mathbf{u}) \times ( {\color{orange}t} + \mathbf{v}) = -{\color{orange}s} \mathbf{v} + {\color{orange}t} \mathbf{u} + (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$

🔸 性質

1. ${\color{orange}s} \times {\color{orange}t} = \mathbf{0}$（兩純量外積為零）

2. ${\color{orange}s} \times \mathbf{v} = - {\color{orange}s}\mathbf{v}$

1. $\mathbf{q} \times \mathbf{q} = \mathbf{0}$

2. (反交換律)： $\mathbf{q} \times \mathbf{p} = - (\mathbf{p} \times \mathbf{q})$

3. (類結合律)：${\color{orange}k}(\mathbf{p}\times\mathbf{q}) = ({\color{orange}k}\mathbf{p})\times\mathbf{q} = \mathbf{p}\times({\color{orange}k}\mathbf{q})$

4. (左分配律)：$\mathbf{p}\times (\mathbf{q} + \mathbf{r}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{p}\times\mathbf{r}$ (右分配律也成立)

• 👉 比較： 外積性質

• 🎖 證明： 4. 5. 6. 👉

1. $\mathbf{\overline{p}} \mathbf{q} = \underbrace{ (\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) }_{\text{scalar part}} \underbrace{ - (\mathbf{p} \times \mathbf{q}) }_{\text{vector part}}$

2. $\|\mathbf{p}\|^2 \|\mathbf{q}\|^2 = |\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}|^2 + \| \mathbf{p}\times\mathbf{q} \|^2$ (可由上式證得)

• 👉 比較： 向量長度

• (7) 式可視為是四元數乘法性質 (8) 的擴充。

⭐️ 重點

• 這定義並不牴觸原來兩個「只有純向量部分的外積 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$」，兩個定義是相容的。

• 這可看作是將外積定義從 $\mathbb{R}^3$ 擴充到 $\mathbb{H}$。

• 這定義的運算結果是個「純向量」四元數。

⬇️ 應用

• 向量分解

👥 相關

• 四元數 ⟩ 乘法、 內積 、旋轉

• 平面外積

• 空間外積

• 複數乘法