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代數 ⟩ 系統 ⟩ 群
(G,∗)(\mathbf{G}, \ast)(G,∗) 稱為一個「群」(group under the ∗\ast∗ operation)，如果它的運算具有：
封閉性 (closure)： a∗b∈Ga \ast b \in \mathbf{G}a∗b∈G
並符合下列 3 點：
G1：結合律 (associativity)： (ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)(ab)c=a(bc)
G2：單位元素 (identity) eee： ea=ae=aea = ae = aea=ae=a
G3：反元素 (inverse) a−1a^{-1}a−1： a∗a−1=a−1∗a=ea \ast a^{-1} = a^{-1} \ast a = ea∗a−1=a−1∗a=e
群不一定有交換律： ab=baab=baab=ba，但如果有就稱為「交換群」。
群的性質
交換群： 有交換律 ab=baab=baab=ba 的群。
一個擁有「結合律」的「代數系統」稱為「半群╱semigroup」。
Contemporary Abstract Algebra (2017), Ch. 2 Groups, p.43
