🔰實數順序：a ≤ b

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若 $a, b \in \mathbb{R}$，定義： ${\color{orange}a \le b}$ 代表 $a \subseteq b$

👥 先備

• 包含關係：A ⊆ B

⬇️ 推論

• 非負實數運算性質

📗 參考

• Understanding Analysis ⟩ 8.6 A Construction of R From Q

性質

在實數系 ${\color{orange}\mathbb{R}}$ 中， ${\color{orange} \le }$ 是一個 全序╱total ordering，具有：

1. (TO1) 全序性╱totality： $a \ {\color{orange}\le} \ b \ \lor \ b \ {\color{orange}\le} \ a$

2. (TO2) 反對稱╱antisymmetry： $a \ {\color{orange}\le} \ b \ \land \ b \ {\color{orange}\le} \ a \implies a = b$

3. (TO3) 遞移性╱transitivity： $a \ {\color{orange}\le} \ b \ \land \ b \ {\color{orange}\le} \ c \implies a \ {\color{orange}\le} \ c$

證明

因為「⊆」本身就有「反對稱」與「遞移性」，所有我們只要證明「 ${\color{orange} \le }$ 」具有「全序性」即可：