🔸全序性╱totality

集合 ⟩ 關係 ⟩ 二元 ⟩ 性質 ⟩ 全序性

若「二元關係」，擁有以下性質：

• $a \ {\color{orange}\mapsto} \ b \ \text{ or } \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ a \ ( \ \forall a, b \in A \ )$（任兩個元素間一定有關係)(對稱位置不能同時沒關係)

此時我們說此「二元關係」具有具有「全序性」(totality)。

totality (relation)

「全序性」(totality) 必定具有「反身性」(reflexivity)： $a \ {\color{orange}\mapsto} \ a, \ \forall a \in A$

利用表格，可以看出「二元關係」是不是具有「全序性」。

• 「全序性」有點類似「反對稱性」的反面：

  • 「反對稱」：「對稱位置」不能同時有關係。

  • 「全序性」：「對稱位置」不能同時沒關係。

    • 如果一個點是「空格」，那它的「對稱點」必須有設立關係。

    • 💡可利用此點找反例 (兩個都是空格)，就可說明一個「二元關係」沒有「全序性」
• 「對角線上的所有位置」一定都有設立關係。(因此有全序性代表有反身性)

🔴 主題

• 具有「全序性」的「二元關係」：

  • 全序╱total ordering：例如 $x\le y$

📗 參考

• Abstract and Linear Algebra (Burton) ⟩ 1.2 Functions and relations (p. 19)