➗向量除法

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 運算 ⟩ 向量除法

若 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，則定義：$\dfrac{\mathbf{\color{orange}u}}{\mathbf{v}} = \dfrac{\mathbf{\color{orange}u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$

• ⭐️ 注意： $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 兩者不需平行❗

🔸 性質

1. 若 $\mathbf{u} = {\color{orange}t} \mathbf{v} \ \ (\mathbf{v} \neq \mathbf{0})$，則 $\dfrac{\mathbf{u}}{\mathbf{v}} = \color{orange}t$

• 證明：👉

1. 若 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，則： $\left(\dfrac{\mathbf{\color{orange}u}}{\mathbf{v}}\right)^{-1} = \dfrac{\mathbf{v}}{\mathbf{\color{orange}u}} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$

• 先備：向量長度性質 3、平行向量性質 1

• 證明：👉

1. $\dfrac{ {\color{orange}s} \mathbf{u} }{ {\color{orange}t} \mathbf{v} } = \left( \dfrac{ {\color{orange}s} }{ {\color{orange}t} } \right) \left( \dfrac{ \mathbf{u} }{ \mathbf{v} } \right)$ ( ${\color{orange}t} \neq 0, \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ )

2. $\dfrac{ \mathbf{u+v} }{ \mathbf{w} } = \dfrac{ \mathbf{u} }{ \mathbf{w} } + \dfrac{ \mathbf{v} }{ \mathbf{w} }$ ( $\mathbf{w} \neq \mathbf{0}$ )

• 證明：👉

• 應用：射影座標性質１、

1. 若 $\mathbf{{\color{orange}w}} \neq \mathbf{0}, \ \mathbf{{\color{orange}w}} \parallel \mathbf{u} \ \lor \ \mathbf{{\color{orange}w}} \parallel \mathbf{v}$，則：$\dfrac{ \mathbf{u} }{ \mathbf{v} } = \dfrac{ \mathbf{u} }{ \mathbf{{\color{orange}w}} } \cdot \dfrac{ \mathbf{{\color{orange}w}} }{ \mathbf{v} }$

• 證明：👉

• 應用：射影座標性質１、

⬇️ 應用

• 向量分解

• 圓弧插值法

👥 相關

• 射影向量