⭐矩陣乘法

🚧 under construction -> prove 結合律, 矩陣乘法為何如此定義

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🔰 定義

當Ａ為 $m\times p$ 矩陣、Ｂ為 $p\times n$ 矩陣時，我們定義兩個矩陣相乘的結果為一個 $m\times n$ 矩陣：

• $AB= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mp} \end{bmatrix} \; \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{p1} & b_{p2} & \cdots & b_{pn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mn} \end{bmatrix}$

其中：

• $c_{ij}=(\mathbf{AB})_{{\color{blue}{i}}{\color{red}{j}}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}$

• $c_{ij}= \mathbf{A}_{{\color{blue}{i}}*}\mathbf{B}_{*\color{red}{j}}$ （ ⭐ 相當於「$\mathbf{A}$ 第 $i$ 列」與「$\mathbf{B}$ 第 $j$ 行」做內積❗）

矩陣乘法定義

🔴 主題

• 「分割式」乘法

• 「表格疊加」法

• 「分組式」乘法

• 「塊狀」乘法

• 反矩陣

🗺️ 圖表

🧨 雷區

👥 相關

🛠 工具

📗 參考

🔸 矩陣乘法性質引理

1. 外積

2. (uv)^T = v^T u^T

3. 矩陣乘積為外積之和

🔸 性質

#	🔸 性質	🎖 證明
1	類結合律：${\color{orange}k} (\mathbf{AB}) = ({\color{orange}k}\mathbf{A)B} = \mathbf{A} ({\color{orange}k}\mathbf{B})$
2	結合律： $\mathbf{(AB)C} = \mathbf{A(BC)}$