⭐矩陣乘法

🚧 under construction -> prove 結合律, 矩陣乘法為何如此定義

線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 運算 ⟩ 矩陣乘法

當Ａ為 $m\times p$ 矩陣、Ｂ為 $p\times n$ 矩陣時，我們可以定義兩個矩陣如何相乘 (跟向量內積有關係)，而且乘完後，會變成 $m\times n$ 矩陣。

🔴 主題

• 行向量 ⨉ 列向量

• 「分割式」乘法

• 「表格疊加」法

• 「分組式」乘法

• 「塊狀」乘法

• 反矩陣

🗺️ 圖表

矩陣乘法概念圖

🧨 雷區

$\mathbf{A}$ 的行數與 $\mathbf{B}$ 的列數必須一樣，才能做矩陣乘法❗

👥 相關

• 向量 ⟩ 內積

• Desmos ⟩ 矩陣

• GGB ⟩ 矩陣

🛠 工具

• Desmos Calculator

📗 參考

• Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004)

當Ａ為 $m\times p$ 矩陣、Ｂ為 $p\times n$ 矩陣時，假設 ＡＢ＝Ｃ，則Ｃ裡面的元素的計算方式如下圖：

矩陣乘法定義

🔰 定義

$c_{ij}=(\mathbf{AB})_{{\color{blue}{i}}{\color{red}{j}}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}$

⭐ 相當於「$\mathbf{A}$ 第 $i$ 列」與「$\mathbf{B}$ 第 $j$ 行」做內積❗

🔸 性質

#	🔸 性質	🎖 證明
1	類結合律：${\color{orange}k} (\mathbf{AB}) = ({\color{orange}k}\mathbf{A)B} = \mathbf{A} ({\color{orange}k}\mathbf{B})$
2	結合律： $\mathbf{(AB)C} = \mathbf{A(BC)}$