🚧四元數乘法

🚧 under construction -> 反對稱矩陣, T(p) = pq -> [T]

數系 ⟩ 四元數 ⟩ 運算 ⟩ 乘法

• 設： $\mathbf{p} = w_1+x_1\mathbb{i} +y_1\mathbb{j} +z_1\mathbb{k}$, $\mathbf{q} = w_2+x_2\mathbb{i} +y_2\mathbb{j} +z_2\mathbb{k}$

定義 $\mathbf{pq}$ 為：

$\begin{matrix} \phantom{+} & \phantom{\mathbf{i}} (w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 -z_1 z_2) \\ + & \mathbf{i} \ (w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2) \\ + & \mathbf{j} \ (w_1 y_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2 - x_1 z_2)\\ + & \mathbf{k} \ (w_1 z_2 + z_1 w_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2) \end{matrix}$

• 註：可先借用四元數的分配律推導 👉

• 若用矩陣乘法則可寫成： $\begin{bmatrix} w_{1} & -x_{1} & -y_{1} & -z_{1}\\ x_{1} & w_{1} & -z_{1} & y_{1}\\ y_{1} & z_{1} & w_{1} & -x_{1}\\ z_{1} & -y_{1} & x_{1} & w_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_{2}\\ x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{bmatrix}$

• ⭐️ 注意：前面這個矩陣類似「反對稱矩陣」

🔸 性質

1. (結合律)：$(\mathbf{p}\mathbf{q})\mathbf{r} = \mathbf{p}(\mathbf{q}\mathbf{r})$

2. (左分配律)：$\mathbf{p} (\mathbf{q} + \mathbf{r}) = \mathbf{p}\mathbf{q} + \mathbf{p}\mathbf{r}$ (右分配律也成立)

若：$\mathbf{p} = s + \mathbf{u}$, $\mathbf{q} = t + \mathbf{v}$，則：

1. $\mathbf{p} \mathbf{q} = ( {\color{orange}{s}} + \mathbf{u})( {\color{orange}{t}} + \mathbf{v}) = \underbrace{ {\color{orange}{st}} - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) }_{\text{scalar part}} + \underbrace{ {\color{orange}{s}} \mathbf{v} + {\color{orange}{t}} \mathbf{u} + (\mathbf{u} \times \mathbf{v})} _{\text{vector part}}$

2. $\mathbf{\overline{p}} \mathbf{q} = ( {\color{orange}{s}} - \mathbf{u})( {\color{orange}{t}} + \mathbf{v}) = \underbrace{ {\color{orange}{st}} + (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) }_{\text{scalar part}} + \underbrace{ {\color{orange}{s}} \mathbf{v} - {\color{orange}{t}} \mathbf{u} - (\mathbf{u} \times \mathbf{v})} _{\text{vector part}}$

1. (可交換條件)： $\mathbf{q} \mathbf{p} = \mathbf{p} \mathbf{q} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$

2. ${\color{orange}k}\mathbf{q} = \mathbf{q}{\color{orange}k}$ (純數一定可交換)

• ⬆️ 需要： 平行向量性質

• 🎖 證明： (5)

1. $\mathbf{u} \mathbf{v} = (\mathbf{u} \times \mathbf{v})-(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$

• 👉 比較：複數乘法性質 、 四元數外積 、四元數旋轉

1. $(1) \ \mathbf{\overline{p}} \mathbf{q} = \underbrace{ (\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) }_{\text{scalar part}} \underbrace{ - (\mathbf{p} \times \mathbf{q}) }_{\text{vector part}}$ $(2) \ \mathbf{p} \mathbf{q} = \underbrace{ (\mathbf{\overline{p}} \cdot \mathbf{q}) }_{\text{scalar part}} \underbrace{ - (\mathbf{\overline{p}} \times \mathbf{q}) }_{\text{vector part}}$

• 🎖 證明： 可由 (4) 式與四元數內積、外積定義而來。

• (8) 式可視為是 (7) 式的擴充。

🧨 雷區

⭐️ 重點

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