⭐「表格疊加」法

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如果「行向量 ⨉ 列向量」是得到「一個表格」，那麼一般的「矩陣乘法」就是得到「一連串的表格」，然後再進行疊加。 (至於得到幾個表格，那就要看相乘的兩個矩陣各有幾行幾列)

⬆️ 需要

• 行向量 ⨉ 列向量

⬇️ 應用

• 轉置矩陣定理

• 「分組式」乘法

🗺️ 圖表

👥 相關

• 比較： 內積

• 本文使用大量的矩陣符號。

• 轉置矩陣的證明與本文「💎 定理 」相關。

🛠 工具

• Desmos Calculator

⭐️ 我們可以將 A, B 兩個矩陣相乘，看作是：

• 將 A 的第 1 行乘以 B 的第 1 列，得到第 1 個表格 ( 也就是 $\mathbf{A}_{*1}\mathbf{B}_{1*}$ )

• 再將 A 的第 2 行乘以 B 的第 2 列，得到第 2 個表格 ( 也就是 $\mathbf{A}_{*2}\mathbf{B}_{2*}$ )

• 以此類推，最後再將這些表格相加。

👉 矩陣符號

例如： $\mathbf{A} =\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$、 $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$， $\mathbf{AB} =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$。

在下圖中，我們將 A, B 兩組相對應的行列相乘，可以得到兩個表格，再將這兩個表格疊加，就可以得到 AB 相乘的結果。

「表格疊加」法

會得到這樣的結果，並非巧合，我們用後面的「💎 定理 」證明。

💍 引理

$( \mathbf{A}_{*\color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}}*} ) _{{\color{blue}{ij}}} = \mathbf{A}_{{\color{blue}{i}} \color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}} {\color{blue}{j}}}$

👉 矩陣符號

這個引理的意思是：「第 k 個表格」的第 $(i,j)$ 個元素就是 $\mathbf{A}_{{\color{blue}{i}} \color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}} {\color{blue}{j}}}$：

「第 k 個表格」的第 $(i,j)$ 個元素

A 的每一行與 B 相對應的每一列相乘，都可以得到「一個表格」，所以 A, B 各有多少行、列，就會得到多少表格，最後再疊加起來就可以了。

矩陣乘法表格化

我們將這樣的原理整理如下：

💎 定理

若： $\mathbf{A}$ 為 $m\times p$ 矩陣、 $\mathbf{B}$ 為 $p\times n$ 矩陣，則：

$\mathbf{AB} = \mathbf{A}_{*\color{red}{1}} \mathbf{B}_{{\color{red}{1}}*} + \mathbf{A}_{*\color{red}{2}} \mathbf{B}_{{\color{red}{2}}*} + \cdots + \mathbf{A}_{*\color{red}{p}} \mathbf{B}_{{\color{red}{p}}*}$

🎖 證明： 👉