🚧共軛四元數

🚧 under construction -> prove property (5)

數系 ⟩ 四元數 ⟩ 共軛數 (conjugate)

若 $\mathbf{q} = w+x\mathbb{i} +y\mathbb{j} +z\mathbb{k}$，則定義它的共軛數為：

$\mathbf{\overline{q}} = w -x\mathbb{i} -y\mathbb{j} -z\mathbb{k}$

🔸 性質

若：$\mathbf{p} = {\color{orange}s} + \mathbf{u}$, $\mathbf{q} = {\color{orange}t} + \mathbf{v}$, $\mathbf{\overline{q}} = {\color{orange}t} - \mathbf{v}$ 則：

1. $\mathbf{\overline{pq}} = \mathbf{\overline{q}} \ \mathbf{\overline{p}}$ (⭐️ 注意順序❗️)

2. $\overline{{\color{orange}s}} = {\color{orange}s}$ (純量的共軛數)

3. $\mathbf{\overline{u}} = -\mathbf{u}$ (向量的共軛數)

• 🎖 證明： 👉

1. $\|\mathbf{q}\|^2 = \mathbf{\overline{q}} \mathbf{q} = \mathbf{q} \mathbf{\overline{q}}$ ( 👉 四元數長度 )

1. (1) $\mathbf{\overline{p \cdot q}} = \mathbf{\overline{p}} \cdot \mathbf{\overline{q}} = \mathbf{\overline{q}} \cdot \mathbf{\overline{p}} = \mathbf{p} \cdot \mathbf{q}$ (2) $\mathbf{\overline{p \times q}} = \mathbf{\overline{q}} \times \mathbf{\overline{p}}$ (3) $\mathbf{\overline{p \pm q}} = \mathbf{\overline{p}} \pm \mathbf{\overline{q}}$

👥 相關

• 共軛複數

• 四元數 ⟩ 內積、外積