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數系 ⟩ 四元數 ⟩ 共軛數 (conjugate)
若 q=w+xi+yj+zk\mathbf{q} = w+x\mathbb{i} +y\mathbb{j} +z\mathbb{k}q=w+xi+yj+zk，則定義它的共軛數為：
q‾=w−xi−yj−zk\mathbf{\overline{q}} = w -x\mathbb{i} -y\mathbb{j} -z\mathbb{k}q=w−xi−yj−zk
若：p=s+u\mathbf{p} = {\color{orange}s} + \mathbf{u}p=s+u, q=t+v\mathbf{q} = {\color{orange}t} + \mathbf{v}q=t+v, q‾=t−v\mathbf{\overline{q}} = {\color{orange}t} - \mathbf{v}q=t−v 則：
pq‾=q‾ p‾\mathbf{\overline{pq}} = \mathbf{\overline{q}} \ \mathbf{\overline{p}}pq=q p (⭐️ 注意順序❗️)
s‾=s\overline{{\color{orange}s}} = {\color{orange}s}s=s (純量的共軛數)
u‾=−u\mathbf{\overline{u}} = -\mathbf{u}u=−u (向量的共軛數)
🎖 證明：
∥q∥2=q‾q=qq‾\|\mathbf{q}\|^2 = \mathbf{\overline{q}} \mathbf{q} = \mathbf{q} \mathbf{\overline{q}}∥q∥2=qq=qq ( 四元數長度 )
(1) p⋅q‾=p‾⋅q‾=q‾⋅p‾=p⋅q\mathbf{\overline{p \cdot q}} = \mathbf{\overline{p}} \cdot \mathbf{\overline{q}} = \mathbf{\overline{q}} \cdot \mathbf{\overline{p}} = \mathbf{p} \cdot \mathbf{q}p⋅q=p⋅q=q⋅p=p⋅q (2) p×q‾=q‾×p‾\mathbf{\overline{p \times q}} = \mathbf{\overline{q}} \times \mathbf{\overline{p}} p×q=q×p (3) p±q‾=p‾±q‾\mathbf{\overline{p \pm q}} = \mathbf{\overline{p}} \pm \mathbf{\overline{q}} p±q=p±q
共軛複數
四元數 ⟩ 內積、外積
