🔸遞移性╱transitivity

集合 ⟩ 關係 ⟩ 二元 ⟩ 性質 ⟩ 遞移性

若「二元關係」，擁有以下性質：

• $a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$

此時我們說此「二元關係」具有具有「遞移性」(transitivity)。

transitive relation

如果想利用表格看出「二元關係」是不是具有「遞移性」恐怕不切實際，如上圖：

1. 首先，挑選「對角線」上的任一位置 $(b,b)$。(此點有沒有設立關係無所謂)

2. 然後挑選不同行不同列的另一位置 $(a,c)$ 當它的「對角點」。

3. 利用這兩點圍成一個矩形（白底標出的部分）。

4. 若 $(b,b)$ 兩側頂點位置（藍色箭頭所指處）有設立關係 ($a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ c$)，則代表 $(a,c)$ 位置也必須有設立關係 ($a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$)。

從上面的步驟可以看出，如果是一個大表格，用這個方法檢查「二元關係」有沒有「遞移性」，根本不可行，畢竟人腦非電腦。

但如果要利用上述方法看出它沒有「遞移性」，則相對簡單些，我們只要舉出一個反例即可：

• 首先，任挑一個「空格」 $(a,c)$ (沒有設立關係的點)。

• 在「對角線」上任挑一個不同行不同列的點 $(b,b)$。(此點有沒有設立關係無所謂)

• 利用這兩點圍成一個矩形。

• 若發現 $(b,b)$ 兩側頂點位置（藍色箭頭所指處）都有設立關係，這時就發現一個反例了。

例如：下圖就代表一個沒有「遞移性」的「二元關係」。

🔴 主題

• 具有「遞移性」(transitivity) 的「二元關係」：

  • 全序╱total ordering：例如 $x\le y$

⭐️ 重點

在「遞移性」的條件中：

• $a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$

只要討論 $b \neq a, \ b \neq c$ 的情況就好，因為：

• 當 $b=a$，原條件變成 $a \ {\color{orange}\mapsto} \ a, \ a \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$，顯然成立。

• 當 $b=c$，原條件變成 $a \ {\color{orange}\mapsto} \ c, \ c \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$，也顯然成立。

這也是為什麼我們在上面的討論中，利用表格如何判斷一個「二元關係」是否具有「遞移性」時，只需考慮「一般的矩形」就好，不需考慮「壓扁或退化的矩形範圍」。

📗 參考

• Abstract and Linear Algebra (Burton) ⟩ 1.2 Functions and relations (p. 19)