🔰空間外積矩陣

🚧 under construction -> 如何證明一變換是線性變換

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 運算 ⟩ 外積 ⟩ 空間外積 ⟩ 矩陣表示法

空間外積 $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ 可視為作用於 $\mathbf{v}$ 的線性變換：

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \underbrace{ \begin{bmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} }_{\text{matrix multiplication}}$

(註：當然也可視為作用於 $\mathbf{u}$ 的線性變換)

⬇️ 應用

• 對特定軸的旋轉矩陣

🎖 證明

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \underbrace{ \begin{bmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} }_{\text{matrix multiplication}}$

🎖 證明：

• 由外積性質，我們知道外積是個線性變換，所以我們只要算出三個基底向量 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 在此變換下，換成哪些行向量即可：

• 上面我們算出第一個基底向量 $\mathbf{i}$ 會換成：$\begin{bmatrix} 0 \\ u_3 \\ -u_2 \end{bmatrix}$，其他向量可依此類推。

👥 相關

• 矩陣乘法

• Desmos ⟩ 矩陣

• GGB ⟩ 矩陣

• LaTeX ⟩ decoration

📗 參考

• Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004)