🔰繞軸旋轉矩陣

線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 旋轉矩陣 ⟩ 繞軸旋轉

對特定軸的旋轉

  • 若以單位向量 u=[u1 u2 u3]T\mathbf{u} = [u_1 \ u_2 \ u_3]^T 為軸，將 P\mathbf{P} 點旋轉 θ\theta 角，得到 P′\mathbf{P'} 點，則： (1)  P′=(cos⁡θ) P + (1−cos⁡θ) (P⋅u)u+ (sin⁡θ) (u×P)(1) \ \ \mathbf{P'} = ({\color{orange} \cos\theta}) \ \mathbf{P} \ + \ ({\color{orange}1-\cos\theta}) \ (\mathbf{P\cdot u}) \mathbf{u} + \ ({\color{orange}\sin\theta}) \ (\mathbf{u\times P}) (2)  P′=[ (cos⁡θ) I + (1−cos⁡θ) uuT+ (sin⁡θ) M ] P(2) \ \ \mathbf{P'} = [ \ ({\color{orange}\cos\theta}) \ \mathbf{I} \ + \ ({\color{orange}1-\cos\theta}) \ \mathbf{u} \mathbf{u}^T + \ ({\color{orange}\sin\theta}) \ \mathbf{M} \ ] \ \mathbf{P}

  • 其中： I=[100010001]\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} (單位矩陣) uuT=[u12u1u2u1u3u2u1u22u2u3u3u1u3u2u32]\mathbf{uu^T} = \begin{bmatrix} u_{1}^2 & u_{1} u_2 & u_{1} u_3 \\ u_{2} u_1 & u_{2}^2 & u_{2} u_3 \\ u_{3} u_1 & u_{3} u_2 & u_{3}^2 \end{bmatrix} (⭐ 注意：① 行向量都平行 u\mathbf{u} ② MT=M\mathbf{M^T} = \mathbf{M} ) M=[0−u3u2u30−u1−u2u10]\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{bmatrix} (⭐ 注意：① 行向量都垂直 u\mathbf{u} ② MT=−M\mathbf{M^T} = -\mathbf{M} )

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