🔰Ring╱環

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代數 ⟩ 系統 ⟩ 環

我們稱 $({\color{orange}\mathbf{R}}, {\color{orange}+},{\color{orange}\cdot})$ 為一個「ring╱環」，如果 ${\color{orange}\mathbf{R}}$ 具有 2 個必要運算：

• 加法： $a {\color{orange}+} b \in {\color{orange}\mathbf{R}}$ (加法封閉性)

• 乘法： $a {\color{orange}\cdot} b \in {\color{orange}\mathbf{R}}$ (乘法封閉性) (註：習慣上會省略乘法符號)

而且這兩個運算符合以下 7 條件：

• A1：加法結合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$

• A2：加法零元素： $a + {\color{orange}\mathbf{0}} = a$

• A3：加法反元素： $a+ ({\color{orange}-a}) = \mathbf{0}$

• A4：加法交換律： $a+b=b+a$

• M1：乘法結合律： $(ab)c=a(bc)$

• D1：左分配律： $a(b+c)=ab+ac$

• D2：右分配律： $(a+b)c=ac+bc$

• 「環」的加法一定是「可交換」，外加「乘法結合律」與「左右分配律」的結構。

為了省掉一些旁枝末節的麻煩，我們不討論「只有一個元素」的環 (ring)。

👉 identity 的性質 1 ： $1 \neq 0$

🗺️ 圖表

代數結構

🧨 雷區

「ring╱環」的「乘法」：

• 不一定有「交換律」❗( 👉 比較： 交換環 )

• 不一定有「乘法單位元素」❗

• 有「乘法單位元素」的環，它的元素也不見得會有「乘法反元素」❗

🔴 主題

• 「commutative ring╱交換環」：具有「乘法交換律」的「環」
• 「identity╱乘法單位元素」 -> multiplicative identity

• 「unit & 乘法反元素」 -> multiplicative inverse

• 「commutative ring with identity」

• 「integral domain」

• 「skew field」

• 「Field╱體」：具有「乘法單位元素」與「乘法反元素」的「交換環」

👥 相關

• 向量空間 (vector space)
• 「環」：「加法交換群」外加「乘法結合律」與「分配律」的結構。

📗 參考

• Contemporary Abstract Algebra (2017), Ch. 12 Rings, p.227.

• Socratica ⟩ Abstract Algebra Playlist ⭐️

🖥️ 影片

the definition of a Ring

Ring Definition

Ring Examples