線性代數 ⟩ 向量空間 ⟩ 基底 ⟩ 座標 ("coordinate")
若：
B={e1,e2,⋯ ,en}\mathbf{B} = \{ \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \cdots, \mathbf{e_n}\}B={e1,e2,⋯,en} 為向量空間 (V,F,+,⋅)(\mathbb{V, F,+,\cdot)}(V,F,+,⋅) 的一組基底
v=x1e1+x2e2+⋯xnen \mathbf{v} = {\color{orange}x_1}\mathbf{e_1}+ {\color{orange}x_2}\mathbf{e_2}+ \cdots {\color{orange}x_n}\mathbf{e_n}v=x1e1+x2e2+⋯xnen
則我們說行向量 [ x1, x2, ⋯ ,xn ]T[\ {\color{orange}x_1}, \ {\color{orange}x_2}, \ \cdots, {\color{orange}x_n} \ ]^T[ x1, x2, ⋯,xn ]T 是「 v\mathbf{v}v 以 B\mathbf{B}B 為基底時的座標 」，並用 [v]B[\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}[v]B 表示。
座標是唯一的。
證明：👉
[v]B:V→Fn[\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}: \mathbb{V} \to \mathbb{F}^n[v]B:V→Fn 是一個線性變換。 (1) [u+v]B=[u]B+[v]B[\mathbf{u+v}]_{\mathbf{B}} = [\mathbf{u}]_{\mathbf{B}}+[\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}[u+v]B=[u]B+[v]B (2) [kv]B=k[v]B[{\color{orange}k}\mathbf{v}]_{\mathbf{B}} = {\color{orange}k}[\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}[kv]B=k[v]B ( k∈F{\color{orange}k} \in \mathbb{F}k∈F )
已知 T:V→W{\color{orange}{T}}: \mathbb{V} \to \mathbb{W} T:V→W 是一個線性變換，若：
B={e1,e2,⋯ ,en}\mathbf{B} = \{ \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \cdots, \mathbf{e_n}\}B={e1,e2,⋯,en} 為 V\mathbb{V}V 的一組基底
B′={e1′,e2′,⋯ ,en′}\mathbf{B'} = \{ \mathbf{e'_1}, \mathbf{e'_2}, \cdots, \mathbf{e'_n}\}B′={e1′,e2′,⋯,en′} 為 W\mathbb{W}W 的一組基底
則：
[T(v)]B′=[T]BB′ [v]B[T(\mathbf{v})]_{\mathbf{B'}} = {\color{orange}[T]^{\mathbf{B'}}_{\mathbf{B}} } \ [\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}[T(v)]B′=[T]BB′ [v]B
其中：
[T]BB′{\color{orange}[T]^{\mathbf{B'}}_{\mathbf{B}} }[T]BB′ 定義為 [ [T(e1)]B′ ⋯ [T(en)]B′ ]\left[ \ [T(\mathbf{{\color{orange}e_1}})]_{\mathbf{B'}} \ \cdots \ [T(\mathbf{{\color{orange}e_n}})]_{\mathbf{B'}} \ \right][ [T(e1)]B′ ⋯ [T(en)]B′ ]
證明：👉 線性變換性質 ２
線性變換性質 ２
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