🔯矩陣公式表

線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 矩陣公式表

所有矩陣相關公式會放在這裡，方便查閱。

矩陣加法

#	🔸 公式	👉 來源
1	$(\mathbf{A+B})_{ij} = \mathbf{A}_{ij} + \mathbf{B}_{ij}$	定義

矩陣係數積

🔸 公式	👉 來源
$({\color{orange}k}\mathbf{A})_{ij} = {\color{orange}k}(\mathbf{A}_{ij})$	定義

轉置矩陣

🔸 公式	👉 來源
$(\mathbf{A}_{{\color{red}{i}} *} )^{\color{orange}{T}} =(\mathbf{A}^{\color{orange}{T}} )_{*\color{red}{i}}$	引理
$(\mathbf{A}_{* {\color{red}{j}} } )^{\color{orange}{T}} =(\mathbf{A}^{\color{orange}{T}} )_{{\color{red}{j}} *}$	引理
$\mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T$	定理

矩陣乘法

🔸 公式	👉 來源
$(\mathbf{AB})_{{\color{blue}{i}}{\color{red}{j}}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}$	定義
$(\mathbf{AB})_{{\color{blue}{i}}{\color{red}{j}}} = \mathbf{A}_{{\color{blue}{i}}*} \mathbf{B}_{*\color{red}{j}}$	定義
$( \mathbf{A}_{*\color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}}*} ) _{{\color{blue}{ij}}} = \mathbf{A}_{{\color{blue}{i}} \color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}} {\color{blue}{j}}}$	表格疊加法 (引理)
$\mathbf{AB} = \mathbf{A}_{*\color{red}{1}} \mathbf{B}_{{\color{red}{1}}*} + \mathbf{A}_{*\color{red}{2}} \mathbf{B}_{{\color{red}{2}}*} + \cdots + \mathbf{A}_{*\color{red}{p}} \mathbf{B}_{{\color{red}{p}}*}$	表格疊加法 (定理)
類結合律：${\color{orange}k} (\mathbf{AB}) = ({\color{orange}k}\mathbf{A)B} = \mathbf{A} ({\color{orange}k}\mathbf{B})$	性質
結合律： $\mathbf{(AB)C} = \mathbf{A(BC)}$	性質