🔰矩陣

線代 ⟩ 矩陣 (🈯 同義詞："matrix")

下面這個結構稱為 $m\times n$ 的「矩陣」

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

具有 $m$ 個橫列 (列向量)、 $n$ 個直行 (行向量)，內部的每個數字稱為其元素。

👉 相關符號參閱：矩陣符號

🔴 主題

• 矩陣符號

• 矩陣公式表

• 行向量、列向量

• 矩陣運算

  • 轉置矩陣

  • 矩陣加法

  • 矩陣係數積

  • 矩陣乘法

    • 行 ⨉ 列

    • 矩陣乘法表格化 ⭐

⭐️ 重點

所有 $m\times n$ 的矩陣會形成一個向量空間 (相當於 $\mathbb{R}^{mn}$ )，所以矩陣擁有向量空間的所有性質。

👥 相關

• Desmos ⟩ 矩陣

• GGB ⟩ 矩陣

📗 參考

• Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004)

• wiki ⟩ 矩陣

🔸 公式

#	🔸 公式	👉 來源
1	$(\mathbf{A+B})_{ij} = \mathbf{A}_{ij} + \mathbf{B}_{ij}$	矩陣加法 (定義)
2	$({\color{orange}k}\mathbf{A})_{ij} = {\color{orange}k}(\mathbf{A}_{ij})$	矩陣係數積 (定義)
3	$(\mathbf{AB})_{{\color{blue}{i}}{\color{red}{j}}} = \mathbf{A}_{{\color{blue}{i}}*} \mathbf{B}_{*\color{red}{j}}$	矩陣乘法 (定義)
4	$( \mathbf{A}_{*\color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}}*} ) _{{\color{blue}{ij}}} = \mathbf{A}_{{\color{blue}{i}} \color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}} {\color{blue}{j}}}$	矩陣乘法表格化 (引理)
5	$\mathbf{AB} = \mathbf{A}_{*\color{red}{1}} \mathbf{B}_{{\color{red}{1}}*} + \mathbf{A}_{*\color{red}{2}} \mathbf{B}_{{\color{red}{2}}*} + \cdots + \mathbf{A}_{*\color{red}{p}} \mathbf{B}_{{\color{red}{p}}*}$	矩陣乘法表格化 (定理)
6	$(\mathbf{A}_{{\color{red}{i}} *} )^{\color{orange}{T}} =(\mathbf{A}^{\color{orange}{T}} )_{*\color{red}{i}}$	轉置矩陣 (引理)
7	$(\mathbf{A}_{* {\color{red}{j}} } )^{\color{orange}{T}} =(\mathbf{A}^{\color{orange}{T}} )_{{\color{red}{j}} *}$	轉置矩陣 (引理)
8	$\mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T$	轉置矩陣 (定理)