🔰「塊狀」乘法

🚧 under construction -> 子矩陣

線代矩陣運算乘法 ⟩ 「塊狀」乘法

「分組式」乘法中,我們有提到如果將「矩陣乘法」進行「分組」,並不影響最後疊加的結果

AB=A1B1++ApBp{\color{red}\mathbf{A}} {\color{blue}\mathbf{B}} = {\color{red}\mathbf{A}}_{*1} {\color{blue}\mathbf{B}}_{1*} + \cdots + {\color{red}\mathbf{A}}_{*p} {\color{blue}\mathbf{B}}_{p*}

這時,如果我們又同時每個表格進行「分割」,依然不影響最後疊加的結果

因此可以得到以下的結論,我們稱之為「塊狀」乘法

  • 若: A切成 m×pm\times p 子矩陣[A11A1pAm1Amp]\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1p} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{m1} & \cdots & A_{mp} \end{bmatrix} B切成 p×np\times n 子矩陣[B11B1nBp1Bpn]\begin{bmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{p1} & \cdots & B_{pn} \end{bmatrix} 其中A各的切法B各的切法一致的。

  • AB\mathbf{A}\mathbf{B}m×nm\times n 子矩陣,其中:

🔰 從子矩陣的觀點看塊狀乘法

事實上,如果我們從「子矩陣」的角度出發,會得到一個更自然的觀點:

矩陣塊狀乘法

從上圖中,我們可以看出來 (AB)ij(\mathbf{AB})_{{\color{blue}{i}}{\color{red}{j}}} 子矩陣的每個元素都是由「著色部分」的兩個子矩陣相乘得來的,由「分組式」乘法我們知道:不管著色部分再分成幾組(圖中分為三組),並不影響 (AB)ij(\mathbf{AB})_{{\color{blue}{i}}{\color{red}{j}}} 最後疊加的結果,因此以這個觀點來說,以上的定理就變成是「很自然」的事了。

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