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線性代數 ⟩ 向量空間 ⟩ 線性變換 (linear transformation)
假設 V,W\mathbb{V}, \mathbb{W}V,W 為在同一個係數體 F\mathbb{F}F 上的向量空間，若 T:V→W{\color{orange}{T}}: \mathbb{V} \to \mathbb{W} T:V→W 符合下列條件
T(u+tv)=T(u)+t T(v)T( \mathbf{u} + {\color{orange}{t}} \mathbf{v})= T(\mathbf{u}) + {\color{orange}{t}} \ T(\mathbf{v})T(u+tv)=T(u)+t T(v) ( t∈Ft \in \mathbb{F}t∈F )
則稱 T{\color{orange}{T}}T 為「線性變換」。
下列兩者等價：
(1) T(u+v)=T(u)+T(v)T( \mathbf{u} + \mathbf{v})= T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})T(u+v)=T(u)+T(v) (2) T(tv)=t T(v)T( {\color{orange}{t}} \mathbf{v} )= {\color{orange}{t}} \ T(\mathbf{v})T(tv)=t T(v)
已知 T:V→W{\color{orange}{T}}: \mathbb{V} \to \mathbb{W} T:V→W 是一個線性變換，若：
B={e1,e2,⋯ ,en}\mathbf{B} = \{ \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \cdots, \mathbf{e_n}\}B={e1,e2,⋯,en} 為 V\mathbb{V}V 的一組基底
B′={e1′,e2′,⋯ ,en′}\mathbf{B'} = \{ \mathbf{e'_1}, \mathbf{e'_2}, \cdots, \mathbf{e'_n}\}B′={e1′,e2′,⋯,en′} 為 W\mathbb{W}W 的一組基底
則：
[T(v)]B′=[T]BB′ [v]B[T(\mathbf{v})]_{\mathbf{B'}} = {\color{orange}[T]^{\mathbf{B'}}_{\mathbf{B}} } \ [\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}[T(v)]B′=[T]BB′ [v]B
其中：
[T]BB′{\color{orange}[T]^{\mathbf{B'}}_{\mathbf{B}} }[T]BB′ 定義為 [ [T(e1)]B′ ⋯ [T(en)]B′ ]\left[ \ [T(\mathbf{{\color{orange}e_1}})]_{\mathbf{B'}} \ \cdots \ [T(\mathbf{{\color{orange}e_n}})]_{\mathbf{B'}} \ \right][ [T(e1)]B′ ⋯ [T(en)]B′ ]
先備： 座標、
線性獨立
基底
「四元數旋轉」是一種線性變換。
射影向量
旋轉矩陣
轉置矩陣
座標： [v]B[\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}[v]B
Brilliant ⟩ Linear Transformation
證明： 👉
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