🔰線性變換

線性代數 ⟩ 向量空間 ⟩ 線性變換 (linear transformation)

能夠「保持向量空間線性結構」的變換，稱為「線性變換」

假設 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 為在同一個係數體 $\mathbb{F}$ 上的向量空間，若 ${\color{orange}{T}}: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ 符合下列條件

• $T( \mathbf{u} + {\color{orange}{t}} \mathbf{v})= T(\mathbf{u}) + {\color{orange}{t}} \ T(\mathbf{v})$ ( $t \in \mathbb{F}$ )

則稱 ${\color{orange}{T}}$ 為「線性變換」。

🔸 性質

1. 下列兩者等價：

   • $T( \mathbf{u} + {\color{orange}{t}} \mathbf{v})= T(\mathbf{u}) + {\color{orange}{t}} \ T(\mathbf{v})$ ( $t \in \mathbb{F}$ )

   • (1) $T( \mathbf{u} + \mathbf{v})= T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ (2) $T( {\color{orange}{t}} \mathbf{v} )= {\color{orange}{t}} \ T(\mathbf{v})$

• 證明： 👉

1. 已知 ${\color{orange}{T}}: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ 是一個線性變換，若：

   • $\mathbf{B} = \{ \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \cdots, \mathbf{e_n}\}$ 為 $\mathbb{V}$ 的一組基底

   • $\mathbf{B'} = \{ \mathbf{e'_1}, \mathbf{e'_2}, \cdots, \mathbf{e'_n}\}$ 為 $\mathbb{W}$ 的一組基底

   則：

   • $[T(\mathbf{v})]_{\mathbf{B'}} = {\color{orange}[T]^{\mathbf{B'}}_{\mathbf{B}} } \ [\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}$

   其中：

   • ${\color{orange}[T]^{\mathbf{B'}}_{\mathbf{B}} }$ 定義為 $\left[ \ [T(\mathbf{{\color{orange}e_1}})]_{\mathbf{B'}} \ \cdots \ [T(\mathbf{{\color{orange}e_n}})]_{\mathbf{B'}} \ \right]$

• 先備： 座標、

• 證明：👉

👥 相關

• 線性獨立

• 基底

• 「四元數旋轉」是一種線性變換。

💈範例

• 射影向量

• 旋轉矩陣

• 轉置矩陣

• 座標： $[\mathbf{v}]_{\mathbf{B}}$

📗 參考

• Brilliant ⟩ Linear Transformation