🔰射影向量的矩陣表示法

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 射影向量 ⟩ 矩陣表示法

$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = T (\vec{u})$ 是一種線性變換，其中：

$T = \dfrac{1}{\|v\|²} \begin{bmatrix} v_x^2 & v_x v_y & v_x v_z \\ v_y v_x & v_y^2 & v_y v_z \\ v_z v_x & v_z v_y & v_z^2 \end{bmatrix}$

⭐️ 重點

透過射影向量，可以將向量分解成兩個互相垂直的向量。

🎖 證明

若將 $\vec{u},\vec{v}$ 表示為行向量，因為內積可表示為矩陣乘法，所以射影向量也可表示為矩陣乘法：

$(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{v}= \overbrace{ \underbrace{\vec{v}}_{(n\times 1\text{) }}\underbrace{\vec{v}^T\vec{u}}_{(1\times 1\text{, dot product)}} }^{\text{matrix multiplication}} = \vec{v}\vec{v}^T\vec{u} = \begin{bmatrix} v_x^2 & v_x v_y & v_x v_z \\ v_y v_x & v_y^2 & v_y v_z \\ v_z v_x & v_z v_y & v_z^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_x \\ u_y \\ u_z\end{bmatrix}$

⬇️ 應用

• 垂直分解的矩陣表示法

👥 相關

• 矩陣乘法

• 射影向量是一種線性變換。

📗 參考

• Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004)