🔸封閉性

運算 ⟩ 二元運算 ⟩ 封閉性 (closure)

假設：

• 「 ${\color{orange}\ast}$ 」是一個「在 $\mathbf{S}$ 上的二元運算」

• $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{S}$

若：

• $a{\color{orange}\ast}b \in \mathbf{A}$，其中 $a, b \in \mathbf{A}$。

則：

• 稱「 ${\color{orange}\ast}$ 在 $\mathbf{A}$ 上具有封閉性」( ${\color{orange}\ast}$ is closed on A)

• 或「 $\mathbf{A}$ 在 ${\color{orange}\ast}$ 的運算下具有封閉性」( A is closed under the operation ${\color{orange}\ast}$)

換句話說，「 ${\color{orange}\ast}$ 限制在 $\mathbf{A}$ 上」依然是個「二元運算」

⭐️ 重點

「封閉性」是「二元運算」的天然必備條件。

當我們限縮可以運算的(元素)範圍時，才會產生有沒有「封閉性」的問題。

👥 相關

• Group╱群的運算具有「封閉性」。

📗 參考

• Abstract and Linear Algebra (Burton) ⟩ 2.1 Definition and Elementary Properties of Groups (p. 40)