🔰交換環

代數 ⟩ 環 ⟩ 交換環

具有「乘法交換律」的「環╱ring」，稱為 commutative ring (交換環)。

• M4：乘法交換律： $ab=ba$

「交換環╱commutative ring」 $(\mathbf{R,+,\cdot)}$ 的兩個必要運算：

• 加法： $a+b \in \mathbf{R}$ (加法封閉性)

• 乘法： $a\cdot b \in \mathbf{R}$ (乘法封閉性) (註：習慣上會省略乘法符號)

且兩運算符合以下 8 條件：

• A1：加法結合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$

• A2：加法零元素： $a + {\color{orange}\mathbf{0}} = a$

• A3：加法反元素： $a+ ({\color{orange}-a}) = \mathbf{0}$

• A4：加法交換律： $a+b=b+a$

• M1：乘法結合律： $(ab)c=a(bc)$

• M4：乘法交換律： $ab=ba$（⭐️ M4為 交換環特有性質，其他為環的性質）

• D1：左分配律： $a(b+c)=ab+ac$

• D2：右分配律： $(a+b)c=ac+bc$

🗺️ 圖表

代數結構

👥 相關

• A field is a commutative ring with unity in which every nonzero element is a unit.

📗 參考

• Contemporary Abstract Algebra (2017), Ch. 12 Rings, p.228.