🔸反對稱╱antisymmetry

集合 ⟩ 關係 ⟩ 二元 ⟩ 性質 ⟩ 反對稱

若「二元關係」，擁有以下性質：

• $a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ a \implies a = b$ （對稱位置不能同時有關係）

此時我們說此「二元關係」具有具有「反對稱性」(antisymmetry)。

antisymmetric relation

利用表格，可以看出「二元關係」是不是具有「反對稱性」：

• 對稱「對角線」的「每對位置」：

  • 如果其中一個位置有關係，則代表另一個位置一定沒有此關係。

  • 如果其中一個位置沒有關係，則另一個位置可以有、也可以沒有此關係。

  • 換句話說，「對稱位置」不能同時有關係。

  • 💡 因此：

    • 一看到有「對稱位置」同時有關係，就代表此關係不具備「反對稱性」。

    • 反過來說，如果找不到這種例子，那就代表有「反對稱性」。

• 「對角線上的位置」不管是否有關係，都對「反對稱性」沒有任何影響。

除了對角線外，完全沒有任何像 $a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ a$ 這樣的「對稱關係」同時存在❗

🔴 主題

具有「反對稱性」(antisymmetry) 的關係：

• 全序╱total ordering：例如 $x\le y$

👥 相關

• 比較：

  • 「反對稱」：「對稱位置」不能同時有關係。

  • 「全序性」：「對稱位置」不能同時沒關係。

📗 參考

• Abstract and Linear Algebra (Burton) ⟩ 1.2 Functions and relations (p. 19)