🔰行向量 ⨉ 列向量

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🈯 同義詞："outer product"

當行向量乘以列向量時：

• 一定可以相乘，不會有維度不合的問題。 ( $m\times 1$ 矩陣乘以 $1\times n$ 矩陣會得到 $m\times n$ 矩陣)

• 而且會產生「一個表格」，類似九九乘法表。

🔴 主題

• 「分割式」乘法

🗺️ 圖表

⭐️ 重點

$\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ 是行向量或列向量，且可作矩陣乘法，只有兩種狀況：

• $\mathbf{u}$ 為行向量、$\mathbf{v}$ 為列向量 (兩者維度可以不同)，它們的乘積又稱為 "outer product"。

• $\mathbf{u}$ 為列向量、$\mathbf{v}$ 為行向量 (兩者維度必須相同)，它們的乘積又稱為「內積」("inner product")。

🛠 工具

• Desmos Calculator

👥 相關

• 比較： 內積、外積

• 轉置矩陣與這裡的性質證明相關。

⬇️ 應用

• 轉置矩陣定理

📗 參考

• Linear Algebra - A Modern Introduction, 3.1 Matrix Operations ⟩

  • Partitioned Matrices

例如： $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$為行向量、 $\mathbf{v} =\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$為列向量，則 $\mathbf{uv} =\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}$

這種乘法類似「九九乘法表」：

這種觀點在證明矩陣乘法公式時，常常能有比較直觀簡潔的證法。

💍 引理

若： $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ 是行向量或列向量，且可作矩陣乘法，

則： $(\mathbf{uv})^T = \mathbf{v}^T \mathbf{u}^T$

🎖 證明： 👉