線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 運算 ⟩ 乘法 ⟩ 行向量 ⨉ 列向量
🈯 同義詞："outer product"
當行向量乘以列向量時：
一定可以相乘，不會有維度不合的問題。 ( m×1m\times 1m×1 矩陣乘以 1×n1\times n1×n 矩陣會得到 m×nm\times nm×n 矩陣)
而且會產生「一個表格」，類似九九乘法表。
「分割式」乘法
u\mathbf{u}u, v\mathbf{v}v 是行向量或列向量，且可作矩陣乘法，只有兩種狀況：
u\mathbf{u}u 為行向量、v\mathbf{v}v 為列向量 (兩者維度可以不同)，它們的乘積又稱為 "outer product"。
u\mathbf{u}u 為列向量、v\mathbf{v}v 為行向量 (兩者維度必須相同)，它們的乘積又稱為「內積」("inner product")。
Desmos Calculator
比較： 內積、外積
轉置矩陣與這裡的性質證明相關。
轉置矩陣定理
Linear Algebra - A Modern Introduction, 3.1 Matrix Operations ⟩
Partitioned Matrices
例如： u=[12]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}u=[12]為行向量、 v=[345]\mathbf{v} =\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}v=[345]為列向量，則 uv=[3456810]\mathbf{uv} =\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}uv=[3648510]
這種乘法類似「九九乘法表」：
這種觀點在證明矩陣乘法公式時，常常能有比較直觀簡潔的證法。
若： u\mathbf{u}u, v\mathbf{v}v 是行向量或列向量，且可作矩陣乘法，
則： (uv)T=vTuT(\mathbf{uv})^T = \mathbf{v}^T \mathbf{u}^T(uv)T=vTuT
🎖 證明： 👉
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