✖️複數乘法

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數系 ⟩ 複數 ⟩ 乘法

若 $\mathbf{z} = a+b\mathbb{i}$ , $\mathbf{w} = c+d\mathbb{i}$， $a,b, c,d\in \mathbb{R}$，則定義：

$\mathbf{zw} = (ac-bd)+(ad+bc)\mathbb{i}$

🔸 性質

1. \begin{align*} \mathbf{\overline{u}v} &= (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) + (\mathbf{u} \times \mathbf{v})\mathbb{i} \\ &=\|\mathbf{\mathbf{u}}\| \|\mathbf{\mathbf{v}}\| (\cos\theta + i\sin\theta) \end{align*}

2. \begin{align*} \mathbf{uv} &= (\mathbf{\overline{u}}\cdot \mathbf{v}) + (\mathbf{\overline{u}} \times \mathbf{v})\mathbb{i} \\ &=\|\mathbf{\mathbf{u}}\| \|\mathbf{\mathbf{v}}\| (\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)) \end{align*}

3. $\|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 = (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})^2 + (\mathbf{u} \times \mathbf{v})^2$

• 👉 比較：四元數乘法性質

⭐️ 重點

通常省略複數的乘法符號，以避免與向量空間的內積符號混淆。

👥 相關

• 共軛複數、 複數長度

• 內積、 平面外積