🔰向量空間

🚧 under construction -> + algebra / field

線代 ⟩ 向量 ⟩ 向量空間 (🈯 同義詞："vector space")

我們稱 $(\mathbb{V, F,+,\cdot)}$ 為一個「向量空間」(vector space over the field $\mathbb{F}$)，如果：

• $\mathbb{V}$ 是一個集合，其上元素稱為向量 (vector)。

• $\mathbb{F}$ 是一個體 (field) (通常為實數 $\mathbb{R}$)，其上元素稱為係數 (scalar)。

並且有兩個必要的運算：

• 向量加法 (vector addition)： $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in \mathbb{V}$ (加法封閉性)

• 係數積 (scalar multiplication)： $k \mathbf{u}\in \mathbb{V}$ (係數積封閉性)

(註：習慣上會省略係數積的符號，以避免與內積混淆)

而且這兩個運算符合以下 8 條件：

向量加法 (vector addition)：

1. 結合律： $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$

2. 零向量： $\mathbf{0} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$

3. 反向量： $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = (-\mathbf{v}) + \mathbf{v} = \mathbf{0}$

4. 交換律： $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

係數積 (scalar multiplication)：

1. 單位係數： $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$

2. 類結合律： $(ab)\mathbf{v} = a(b\mathbf{v})$

分配律：

1. $k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$

2. $(a+b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$

🔴 主題

• 線性組合

• 線性獨立

• 基底

⭐️ 重點

向量空間的 8 條件：

• 1.2.3.4. 是「向量加法」的特性，有這些特性的集合又稱為「加法交換群」。

• 5.6. 是係數積單位係數與類結合律。

• 7.8. 是分配律。

👥 相關

• 向量加法

• 向量係數積

• Ring

🗺️ 圖表

代數結構

📗 參考

• wiki ⟩ Vector Space

• Linear Algebar - A Modern Introduction (4th edition), David Poole

💈範例

• 矩陣

• 四元數 ⟩ 內積、外積、乘法

📔 手稿

837KB

note_20230205_1138.svg

image

0v = 0? 1v = v ?