🔰向量空間

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線代 ⟩ 向量 ⟩ 向量空間 (🈯 同義詞："vector space")

我們稱 (V,F,+,⋅)(\mathbb{V, F,+,\cdot)} 為一個「向量空間」(vector space over the field F\mathbb{F})，如果：

  • V\mathbb{V} 是一個集合，其上元素稱為向量 (vector)。

  • F\mathbb{F} 是一個體 (field) (通常為實數 R\mathbb{R})，其上元素稱為係數 (scalar)。

並且有兩個必要的運算：

  • 向量加法 (vector addition)： u+v∈V\mathbf{u} + \mathbf{v} \in \mathbb{V} (加法封閉性)

  • 係數積 (scalar multiplication)： ku∈Vk \mathbf{u}\in \mathbb{V} (係數積封閉性)

(註：習慣上會省略係數積的符號，以避免與內積混淆)

而且這兩個運算符合以下 8 條件：

向量加法 (vector addition)：

  1. 結合律： (u+v)+w=u+(v+w)(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})

  2. 零向量： 0+v=v+0=v\mathbf{0} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}

  3. 反向量： v+(−v)=(−v)+v=0\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = (-\mathbf{v}) + \mathbf{v} = \mathbf{0}

  4. 交換律： u+v=v+u\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}

係數積 (scalar multiplication)：

  1. 單位係數： 1v=v1\mathbf{v} = \mathbf{v}

  2. 類結合律： (ab)v=a(bv)(ab)\mathbf{v} = a(b\mathbf{v})

分配律：

  1. k(u+v)=ku+kvk(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}

  2. (a+b)v=av+bv(a+b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}

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