🚧非負實數運算性質

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數學 ⟩ 數系 ⟩ 實數 ⟩ 建造 ⟩ 非負實數運算性質

當 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b}, {\color{orange}c} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 時：

• 1️⃣ ${\color{orange}a} + {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ （加法在 ${\color{orange}\mathbb{R}}^+ \cup \{ {\color{orange}\mathbb{𝟘}} \}$ 封閉）

• 2️⃣ ${\color{orange}ab} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ （乘法在 ${\color{orange}\mathbb{R}}^+ \cup \{ {\color{orange}\mathbb{𝟘}} \}$ 封閉）

• 3️⃣ ${\color{orange}𝟘} \cdot {\color{orange}a} = {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝟘} = {\color{orange}𝟘}$ （加法單位元素）

• 4️⃣ ${\color{orange}\mathbf{𝕝}} \cdot {\color{orange}a} = {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}} = {\color{orange}a}$ （乘法單位元素）

• 5️⃣ ${\color{orange}ab} = {\color{orange}ba}$ （乘法交換律）

• 6️⃣ ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) = {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$ （乘法分配律）

• 7️⃣ 若 ${\color{orange}a} > {\color{orange}𝟘}$ 則 $0 \in {\color{orange}a}$

👥 先備

• 實數順序：a ≤ b

• 零元素 𝟘

• 定義實數加法 a + b

• 非負實數乘法

📗 參考

性質證明

1️⃣

1️⃣ 若 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$，則： ${\color{orange}a} + {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$

若要證明 ${\color{orange}a} + {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$，則必須證明 ${\color{orange}𝟘} \subseteq {\color{orange}a} + {\color{orange}b}$ (參考實數順序的定義)，也就是要證明 $\forall r \in {\color{orange}𝟘}, \exists p \in {\color{orange}a}, q \in {\color{orange}b} \ni r = p+q$

1. 因為 $r \in {\color{orange}𝟘}$，所以 $r<0$。

2. 令 $p=q=\frac{r}{2}<0$

3. 因為 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$，所以知道 $\frac{r}{2} \in {\color{orange}𝟘} \subseteq {\color{orange}a}, {\color{orange}b}$

4. 因此 $r=\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=p+q \in {\color{orange}a} + {\color{orange}b}$，故得證 ▨

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