🚧非負實數運算性質

1️⃣2️⃣3️⃣4️⃣5️⃣6️⃣7️⃣╱🚧 under construction

數學 ⟩ 數系 ⟩ 實數 ⟩ 建造 ⟩ 非負實數運算性質

當 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b}, {\color{orange}c} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 時：

• 1️⃣ ${\color{orange}a} + {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ （加法在 ${\color{orange}\mathbb{R}}^+ \cup \{ {\color{orange}\mathbb{𝟘}} \}$ 封閉）

• 2️⃣ ${\color{orange}ab} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ （乘法在 ${\color{orange}\mathbb{R}}^+ \cup \{ {\color{orange}\mathbb{𝟘}} \}$ 封閉）

• 3️⃣ ${\color{orange}𝟘} \cdot {\color{orange}a} = {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝟘} = {\color{orange}𝟘}$ （加法單位元素）

• 4️⃣ ${\color{orange}\mathbf{𝕝}} \cdot {\color{orange}a} = {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}} = {\color{orange}a}$ （乘法單位元素）

• 5️⃣ ${\color{orange}ab} = {\color{orange}ba}$ （乘法交換律）

• 6️⃣ ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) = {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$ （乘法分配律）

• 7️⃣ 若 ${\color{orange}a} > {\color{orange}𝟘}$ 則 $0 \in {\color{orange}a}$

👥 先備

• 實數順序：a ≤ b

• 零元素 𝟘

• 定義實數加法 a + b

• 非負實數乘法

📗 參考

• Understanding Analysis ⟩ 8.6 A Construction of R From Q

性質證明

1️⃣

1️⃣ 若 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$，則： ${\color{orange}a} + {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$

若要證明 ${\color{orange}a} + {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$，則必須證明 ${\color{orange}𝟘} \subseteq {\color{orange}a} + {\color{orange}b}$ (參考實數順序的定義)，也就是要證明 $\forall r \in {\color{orange}𝟘}, \exists p \in {\color{orange}a}, q \in {\color{orange}b} \ni r = p+q$

1. 因為 $r \in {\color{orange}𝟘}$，所以 $r<0$。

2. 令 $p=q=\frac{r}{2}<0$

3. 因為 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$，所以知道 $\frac{r}{2} \in {\color{orange}𝟘} \subseteq {\color{orange}a}, {\color{orange}b}$

4. 因此 $r=\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=p+q \in {\color{orange}a} + {\color{orange}b}$，故得證 ▨

2️⃣

2️⃣ 當 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 時：${\color{orange}ab} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ （乘法在 ${\color{orange}\mathbb{R}}^+ \cup \{ {\color{orange}\mathbb{𝟘}} \}$ 封閉）

1. 根據上面 ${\color{orange}ab}$ 的定義： ${\color{orange}\mathbb{𝟘}} \subseteq {\color{orange}ab}$

2. 根據實數順序的定義： ${\color{orange}\mathbb{𝟘}} \le {\color{orange}ab}$ ▨

3️⃣

3️⃣ ${\color{orange}𝟘} \cdot {\color{orange}a} = {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝟘} = {\color{orange}𝟘}$ （加法單位元素）

1. 根據非負實數乘法定義：當 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 時， ${\color{orange}ab} = \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \} \cup {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$

2. 但如果 ${\color{orange}a} = {\color{orange}𝟘}$ 或 ${\color{orange}b} = {\color{orange}𝟘}$ 時， $\{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \}$ 會變成空集合

3. 因此 ${\color{orange}ab} = \empty \cup {\color{orange}𝟘} = {\color{orange}𝟘}$，故得證 ▨

4️⃣

4️⃣ ${\color{orange}\mathbf{𝕝}} \cdot {\color{orange}a} = {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}} = {\color{orange}a}$ （乘法單位元素）

根據性質 5️⃣ ${\color{orange}ab} = {\color{orange}ba}$ 可知： ${\color{orange}\mathbf{𝕝}} \cdot {\color{orange}a} = {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}}$，因此我們只要證明 ${\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}} = {\color{orange}a}$ 即可，也就是證明 ${\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}} \subseteq {\color{orange}a}$ 且 ${\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}} \supseteq {\color{orange}a}$。

---

首先，我們先證明 ${\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}} \subseteq {\color{orange}a}$：

1. 若 $\alpha \in {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝}$，則 $\alpha < 0$ 或 $\alpha = pq$，其中 $0 \le p \in {\color{orange}a}, 0 \le q < 1$

2. 若 $\alpha < 0$ ，則 $\alpha \in {\color{orange}𝟘} \subseteq {\color{orange}a}$（因為 ${\color{orange}a} \ge {\color{orange}𝟘}$），因此 $\alpha \in {\color{orange}a}$

3. 若 $\alpha = pq$ ，其中 $0 \le p \in {\color{orange}a}, 0 \le q < 1$，則對 $0 \le q < 1$ 同時乘以 $p$ 可得： $0 \le pq \le p$

4. 因為 $pq \le p$ 且 $p \in {\color{orange}a}$，因此 $pq = \alpha \in {\color{orange}a}$ （戴德金分割 ⑵ DC2 左半線性質）

5. 由 2. 與 4. 知：若 $\alpha \in {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝}$，則 $\alpha \in {\color{orange}a}$ ，因此 ${\color{orange}a} \cdot {\color{orange}\mathbf{𝕝}} \subseteq {\color{orange}a}$

---

另一方面，我們必須證明 ${\color{orange}a} \subseteq {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝}$：

1. 若 $p \in {\color{orange}a}$，則 $p < 0$ 或 $0 \le p \in {\color{orange}a}$

2. 若 $p < 0$，則 $p \in {\color{orange}𝟘} \subseteq {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝}$ （ 由性質 ⑵ 可知：${\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝} \ge {\color{orange}𝟘}$ ），因此 $p \in {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝}$

3. 若 $0 \le p \in {\color{orange}a}$，則存在 $q \in {\color{orange}a}$ 使得 $p<q$ （戴德金分割 ⑶ DC3 開放性）

4. 因此： $p=q \cdot \frac{p}{q}$，其中因為 $0 \le p < q$，所以 $0 \le \frac{p}{q} <1$

5. 因為 $0 \le q \in {\color{orange}a}$ 且 $0 \le \frac{p}{q} \in {\color{orange}𝕝}$，因此 $p=q \cdot \frac{p}{q} \in {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝}$

6. 由 2. 與 5. 知：若 $p \in {\color{orange}a}$，則 $p \in {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝}$ ，因此 ${\color{orange}a} \subseteq {\color{orange}a} \cdot {\color{orange}𝕝}$ ▨

5️⃣

5️⃣ ${\color{orange}ab} = {\color{orange}ba}$ （乘法交換律）

根據定義，當 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 時：：

• ${\color{orange}ab} = \{ \ pq \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le p \in {\color{orange}a}, \ 0 \le q \in {\color{orange}b} \} \cup {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$
• ${\color{orange}ba} = \{ \ qp \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ 0 \le q \in {\color{orange}b} , \ 0 \le p \in {\color{orange}a} \ \} \cup {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$

但有理數本身就具有乘法交換律（ $pq=qp$ ），因此 ${\color{orange}ab} = {\color{orange}ba}$ ▨

6️⃣ 🚧

6️⃣ ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) = {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$ （乘法分配律）

當 ${\color{orange}a}, {\color{orange}b}, {\color{orange}c} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 時

根據性質 1️⃣ 知： ${\color{orange}b} + {\color{orange}c} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$，因此 ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c})$ 有定義 根據性質 2️⃣ 知： ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) \ge {\color{orange}𝟘}$

---

根據性質 2️⃣ 知： ${\color{orange}ab} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$, ${\color{orange}ac} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}$ 根據性質 1️⃣ 知： ${\color{orange}ab} + {\color{orange}ac} \ge {\color{orange}𝟘}$

---

從上面的討論知道：等號的兩邊都是 $\ge {\color{orange}𝟘}$ 的戴德金分割，但若要證明 ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) = {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$，則必須證明兩點：⑴ ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) \subseteq {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$ ⑵ ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) \supseteq {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$

證明：⑴ ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) \subseteq {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$

1. 令 $\alpha \in {\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c})$，則根據非負實數乘法定義： $\alpha < 0$ 或 $\alpha = p(q+r)$ 其中 $0 \le p, \ 0 \le q+r \ (p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c} )$
2. 若 $\alpha < 0$，則 $\alpha \in {\color{orange}𝟘} \le {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$，因此 $\alpha \in {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$ ⬚
3. 若 $\alpha = p(q+r)$ 其中 $0 \le p, \ 0 \le q+r \ (p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c} )$ 則 $\alpha = pq+pr$

證明：⑵ ${\color{orange}a} ( {\color{orange}b} + {\color{orange}c}) \supseteq {\color{orange}ab} + {\color{orange}ac}$

7️⃣

7️⃣ 若 ${\color{orange}a} > {\color{orange}𝟘}$ 則 $0 \in {\color{orange}a}$

1. 因為 ${\color{orange}a} > {\color{orange}𝟘}$，所以存在 $p \in {\color{orange}a}$ 使得 $p \notin {\color{orange}𝟘}$，換句話說 $p \ge 0$
2. 根據戴德金分割性質 2️⃣： $0 \le p \in {\color{orange}a}$ 可推得 $0 \in {\color{orange}a}$ ▨