🚧非負實數運算性質

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數學數系實數建造 ⟩ 非負實數運算性質

性質證明

1️⃣ 若 a,b𝟘{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}},則: a+b𝟘{\color{orange}a} + {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}}

若要證明 a+b𝟘{\color{orange}a} + {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}},則必須證明 𝟘a+b{\color{orange}𝟘} \subseteq {\color{orange}a} + {\color{orange}b} (參考實數順序的定義),也就是要證明 r𝟘,pa,qbr=p+q\forall r \in {\color{orange}𝟘}, \exists p \in {\color{orange}a}, q \in {\color{orange}b} \ni r = p+q

  1. 因為 r𝟘r \in {\color{orange}𝟘},所以 r<0r<0

  2. p=q=r2<0p=q=\frac{r}{2}<0

  3. 因為 a,b𝟘{\color{orange}a}, {\color{orange}b} \ge {\color{orange}\mathbb{𝟘}},所以知道 r2𝟘a,b\frac{r}{2} \in {\color{orange}𝟘} \subseteq {\color{orange}a}, {\color{orange}b}

  4. 因此 r=r2+r2=p+qa+br=\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=p+q \in {\color{orange}a} + {\color{orange}b},故得證 ▨

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