x²+y²−z<0 且 x+y+z<3 體積

在三維空間中，回答以下小題：

1. 求 $x^2+y^2-z < 0$ 與 $x+y+z < 3$ 的交集區域的體積

2. 求上題中 $x+y-z$ 的極大、極小值

解答：

原來的問題為 $x^2+y^2<z<3-x-y$ 的體積：

[圖例：雙重積分]

經過平移與旋轉後，可視為介於 $f(x,y)=x^2+y^2-\sqrt{2}y +\frac{1}{2}$ 與 $g(x,y)=4-\sqrt{2}y$ 的體積：

這時做雙重積分 (double integral) 可得：

$$\int_{-r}^{r}\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} (r^2-x^2-y^2) dxdy$$

其中：$r=\sqrt{\frac{7}{2}}$，這個積分可以看成旋轉體體積：

這個旋轉體可視為 $y=\sqrt{x}$ 從 $x=0$ 到 $x=r^2$ 的旋轉體體積：

$$\int_0^{r^2} \pi y^2 dx = \int_0^{r^2} \pi x dx = \frac{\pi r^4}{2} = \frac{49}{8} \pi$$

至於要尋找在這個體積內 $x+y-z$ 極值的點座標，只要找 (1, 1, -1) 方向的終端點代入即可：

[GGB 原始檔]

將 $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ 、$(a, a, a^2)$ 代入可得（其中：$a=-\frac{1+\sqrt{7}}{2}$）：

$$-5-2\sqrt{7} \le x + y -z \le \frac{1}{2}$$

參考：

• Wallis’s Theorem