🔰二元關係

集合 ⟩ 關係 ⟩ 二元關係

兩個集合 Ａ、Ｂ (Ａ、Ｂ可以是同一個集合) 的元素之間的關係 ，稱為「二元關係」(binary relation)，事實上就是一種Ａ到Ｂ的「對應關係」，通常以：

  • A×B={ (a,b) ∣ a∈A,b∈B}\mathbf{A} \times \mathbf{B}= \{ \ (a,b) \ | \ a \in \mathbf{A}, b \in \mathbf{B} \}

的子集 (subset) 來表示。如果我們用 ↦{\color{orange}\mapsto} 來表示此二元關係，則：

  • (a,b)∈↦(a,b) \in {\color{orange}\mapsto} 代表 a 對 b 有此關係。

  • 此時我們用 a ↦ ba \ {\color{orange}\mapsto} \ b 表示。

(⭐ 注意： a ↦ ba \ {\color{orange}\mapsto} \ b 不代表有 b ↦ ab \ {\color{orange}\mapsto} \ a❗)

  • 二元關係

    • equivalence relations: satisfy reflexivity, symmetry, and transitivity. 💠 example： a≡b (mod 5)a \equiv b \text{ (mod 5)}

    • partial orders: satisfy reflexivity, antisymmetry, and transitivity. 💠 example： A⊆BA \subseteq B (is a subset of)

    • 全序╱total ordering： satisfy totality, antisymmetry, and transitivity. 💠 example： x≤yx \le y

    • functions: satisfy a special property called functional dependence. In a function f:A→B{\color{orange}f}:A \to B, each element of AA is associated with exactly one element of BB, that is,

      • ∀x∈A,∃! y∈B∋(x,y)∈f\forall x \in A, \exists {\color{orange}!} \ y \in B \ni (x,y) \in {\color{orange}f}.

  • 二元關係屬性

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