🔰二元關係

集合 ⟩ 關係 ⟩ 二元關係

兩個集合 Ａ、Ｂ (Ａ、Ｂ可以是同一個集合) 的元素之間的關係 ，稱為「二元關係」(binary relation)，事實上就是一種Ａ到Ｂ的「對應關係」，通常以：

• $\mathbf{A} \times \mathbf{B}= \{ \ (a,b) \ | \ a \in \mathbf{A}, b \in \mathbf{B} \}$

的子集 (subset) 來表示。如果我們用 ${\color{orange}\mapsto}$ 來表示此二元關係，則：

• $(a,b) \in {\color{orange}\mapsto}$ 代表 a 對 b 有此關係。

• 此時我們用 $a \ {\color{orange}\mapsto} \ b$ 表示。

(⭐ 注意： $a \ {\color{orange}\mapsto} \ b$ 不代表有 $b \ {\color{orange}\mapsto} \ a$❗)

• 二元關係常用表格來表示 (👉 二元關係屬性)

🔴 主題

• 二元關係

  • equivalence relations: satisfy reflexivity, symmetry, and transitivity. 💠 example： $a \equiv b \text{ (mod 5)}$

  • partial orders: satisfy reflexivity, antisymmetry, and transitivity. 💠 example： $A \subseteq B$ (is a subset of)

  • 全序╱total ordering： satisfy totality, antisymmetry, and transitivity. 💠 example： $x \le y$

  • functions: satisfy a special property called functional dependence. In a function ${\color{orange}f}:A \to B$, each element of $A$ is associated with exactly one element of $B$, that is,

    • $\forall x \in A, \exists {\color{orange}!} \ y \in B \ni (x,y) \in {\color{orange}f}$.

• 二元關係屬性

🔯 符號

📗 參考