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代數 ⟩ 系統 ⟩ 群 ⟩ 群的性質
單位元素 eee 是唯一的。 (證明：👉 )
每個元素 aaa 都擁有反元素 a−1a^{-1}a−1，而且是唯一的。 (證明：👉 )
(a−1)−1=a, ∀a∈G(a^{-1})^{-1} = a, \ \forall a \in \mathbf{G}(a−1)−1=a, ∀a∈G
(ab)−1=b−1a−1, ∀a,b∈G(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}, \ \forall a,b \in \mathbf{G}(ab)−1=b−1a−1, ∀a,b∈G
e−1=ee^{-1} = ee−1=e
加法群：反元素通常以 −a{\color{orange}-a}−a 表示，單位元素通常以 0{\color{orange}\mathbf{0}}0 表示。
因為 a∗a−1=a−1∗a=ea \ast a^{-1} = a^{-1} \ast a = ea∗a−1=a−1∗a=e，因此 a−1a^{-1}a−1 與 aaa 互為彼此的反元素。
因為群有「結合律」的關係，所以 (b−1a−1)(ab)=e=(ab)(b−1a−1)(b^{-1} a^{-1})(ab) = e = (ab)(b^{-1} a^{-1})(b−1a−1)(ab)=e=(ab)(b−1a−1)，因此 (ab)−1=b−1a−1(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}(ab)−1=b−1a−1
因為 ee=eee = eee=e，因此 e−1=ee^{-1} = ee−1=e。
Contemporary Abstract Algebra (2017), Ch. 2 Groups, p.43
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