🔰加法性質

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實數加法符合代數系統「體」(field)的加法規範：

• A0╱加法封閉性： $a+b \in {\color{orange}\mathbb{R}}$ ( 👉 證明 )

• A1╱加法結合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$

• A2╱加法零元素： $a + {\color{orange}\mathbf{0}} = a$

• A3╱加法反元素： ${\color{orange}a}+ ({\color{orange}-a}) = {\color{orange}\mathbf{𝟘}}$

• A4╱加法交換律： $a+b=b+a$

👥 先備知識

• 戴德金分割

• 零元素 𝟘

• 加法反元素 -a

📗 參考

加法性質證明

A1

A1╱加法結合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$

因為 $a , b, c \in {\color{orange}\mathbb{R}}$， $a, b, c$ 都是「戴德金分割」：

1. 我們先證明： $(a+b)+c= \{ \ p+q+r \ | \ p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c} \ \}$

   1. $(a+b)+c$ 中的元素必定為 $(p+q)+r$ 的形式(其中 $p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c}$)，因此 $(a+b)+c \ \subseteq \{ \ p+q+r \ | \ p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c} \ \}$。

   2. 反過來說， $p+q+r$ (其中 $p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c}$) 可以寫成 $(p+q)+r$，因此 $\{ \ p+q+r \ | \ p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c} \ \} \ \subseteq (a+b)+c$。

   3. 所以綜合以上兩點： $(a+b)+c= \{ \ p+q+r \ | \ p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c} \ \}$

2. 同理，我們也可以證明： $a+(b+c) = \{ \ p+q+r \ | \ p \in {\color{orange}a}, \ q \in {\color{orange}b}, \ r \in {\color{orange}c} \ \}$

因此，根據以上兩點： $(a+b)+c=a+(b+c)$ ▨

A2

A3

A4