🔰戴德金分割

Dedekind cut╱🚧 under construction -> 最大值, 最小值, 子集, 上界, 三一律

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下圖是一個有理數數線上的子集 (subset)，具備三特性： ⑴ 非特化 ⑵ 左封閉 ⑶ 右開放，這樣的子集稱為「戴德金分割」：

戴德金分割 (Dedekind cut)

若 ${\color{orange}a} \subseteq \mathbb{Q}$，並擁有以下性質(設 $p, q, r, x \in \mathbb{Q}$)：

• ⑴ DC1：${\color{orange}a} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$ ( $\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a}$ ) (非特化：非空真子集)

• ⑵ DC2：$p < q \in {\color{orange}a} \implies p \in {\color{orange}a}$ (左封閉)

• ⑶ DC3：$p \in {\color{orange}a} \implies \exists q \in {\color{orange}a}, \ \ni p < q$ (右開放： ${\color{orange}a}$ 沒有最大值)

則稱 ${\color{orange}a}$ 為一個「戴德金分割╱Dedekind cut」。

後面我們將這樣的有理數子集 ${\color{orange}a}$ 當作一種新的數(number)，我們稱之為「實數」(real number)。

🔴 主題

• (-∞,r) 是戴德金分割

• 🚧 存在不是 (-∞, r) 形的戴德金分割

⬇️ 推論

• 實數順序：a ≤ b

• 定義實數加法 a + b

• 加法性質：A3╱加法反元素： ${\color{orange}a}+ ({\color{orange}-a}) = {\color{orange}\mathbf{𝟘}}$

• 加法反元素 -a：也是一個「戴德金分割」

• 非負實數乘法

• 非負實數運算性質

🗺️ 圖表

$\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a}$

$p < q \in {\color{orange}a} \implies p \in {\color{orange}a}$

$q \in {\color{orange}a} \implies \exists r \in {\color{orange}a}, \ \ni q < r$

📗 參考

• Understanding Analysis ⟩ 8.6 A Construction of R From Q

• wiki ⟩ Dedekind cut

❓ 問題

問：「 如果放開 DC1 條件，會形成什麼樣的新數系呢？ 」

戴德金分割的補集性質

若 ${\color{orange}a}$ 是戴德金分割，則 ${\color{orange}\bar{a}}$ ( ${\color{orange}a}$ 的補集) 具有下列性質 (假設 $p, x, y \in {\color{orange}\mathbb{Q}}$）：

• ⑴ 非特化： ${\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$

• ⑵ 右半線：$x \in {\color{orange}\bar{a}}, \ x < y \implies \ y \in {\color{orange}\bar{a}}$

• ⑶ 上下界：$p \in {\color{orange}a} \ \land \ x \in {\color{orange}\bar{a}} \implies p < x$（每個 $p \in {\color{orange}a}$ 是 ${\color{orange}\bar{a}}$ 的下界，每個 $x \in {\color{orange}\bar{a}}$ 是 ${\color{orange}a}$ 的上界）

⚠️ 注意：

• 這裡用 ${\color{orange}\bar{a}}$ 來表示「${\color{orange}a}$ 的補集」，但在複數系中，這種符號是指共軛複數。

• ${\color{orange}\bar{a}}$ 有可能是「封閉性」的，也就是說，${\color{orange}\bar{a}}$ 有可能有最小值，例如：如果 ${\color{orange}a} = (-\infty, 0)$ ，則 ${\color{orange}\bar{a}} = [0, \infty)$，這時 ${\color{orange}\bar{a}}$ 有最小值 $0$。

證明

⑴

⑴ 非特化： ${\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$

1. 因為 ${\color{orange}a}$ 是戴德金分割，根據其定義 DC1 (非特例)： $\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a}$

2. 因此 $p \notin {\color{orange}\bar{a}} \ \land \ x \in {\color{orange}\bar{a}}$

3. 因為 $p \notin {\color{orange}\bar{a}}$，所以 ${\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\mathbb{Q}}$。因為 $x \in {\color{orange}\bar{a}}$，所以 ${\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi}$ ▨

⑵

⑵ 右半線：$x \in {\color{orange}\bar{a}}, \ x < y \implies \ y \in {\color{orange}\bar{a}}$

1. 若 $\ y \in {\color{orange}a}$ ，則根據 ${\color{orange}a}$ 的「DC2 左半線性質」： $x < y \ \land \ y \in {\color{orange}a} \implies x \in {\color{orange}a}$

2. 但這結果與 $x \in {\color{orange}\bar{a}}$ 矛盾

3. 因此 $y \in {\color{orange}\bar{a}}$ ▨

⑶

⑶ 上下界：$p \in {\color{orange}a} \ \land \ x \in {\color{orange}\bar{a}} \implies p < x$

因為 $p, x \in {\color{orange}\mathbb{Q}}$，根據有理數的「三一律」，下列三個必有一個是正確的：

• ⑴ $p=x$ ⑵ $p>x$ ⑶ $p<x$

---

1. 假設 $p=x$，則 $p=x \in {\color{orange}\bar{a}}$，這跟已知 $p \in {\color{orange}a}$ 矛盾，故不合。

2. 假設 $p>x$，則根據 ${\color{orange}\bar{a}}$ 的「右半線」性質： $x \in {\color{orange}\bar{a}}, \ x < p \implies \ p \in {\color{orange}\bar{a}}$，這跟已知 $p \in {\color{orange}a}$ 矛盾，故不合。

3. 根據以上兩點，只剩下唯一個可能，就是 $p<x$ ▨