🔰戴德金分割

Dedekind cut╱🚧 under construction -> 最大值, 最小值, 子集, 上界, 三一律

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下圖是一個有理數數線上的子集 (subset)，具備三特性： ⑴ 非特化 ⑵ 左封閉 ⑶ 右開放，這樣的子集稱為「戴德金分割」：

Drawing
戴德金分割 (Dedekind cut)

若 a⊆Q{\color{orange}a} \subseteq \mathbb{Q}，並擁有以下性質(設 p,q,r,x∈Qp, q, r, x \in \mathbb{Q})：

  • ⑴ DC1：a≠ϕ, Q{\color{orange}a} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}} ( ∃p∈a,∃x∉a\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a} ) (非特化：非空真子集)

  • ⑵ DC2：p<q∈a  ⟹  p∈ap < q \in {\color{orange}a} \implies p \in {\color{orange}a} (左封閉)

  • ⑶ DC3：p∈a  ⟹  ∃q∈a, ∋p<qp \in {\color{orange}a} \implies \exists q \in {\color{orange}a}, \ \ni p < q (右開放： a{\color{orange}a} 沒有最大值)

則稱 a{\color{orange}a} 為一個「戴德金分割╱Dedekind cut」。

後面我們將這樣的有理數子集 a{\color{orange}a} 當作一種新的數(number)，我們稱之為「實數」(real number)。

戴德金分割的補集性質

若 a{\color{orange}a} 是戴德金分割，則 aˉ{\color{orange}\bar{a}} ( a{\color{orange}a} 的補集) 具有下列性質 (假設 p,x,y∈Qp, x, y \in {\color{orange}\mathbb{Q}}）：

  • ⑴ 非特化： aˉ≠ϕ, Q{\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}

  • ⑵ 右半線：x∈aˉ, x<y  ⟹   y∈aˉx \in {\color{orange}\bar{a}}, \ x < y \implies \ y \in {\color{orange}\bar{a}}

  • ⑶ 上下界：p∈a ∧ x∈aˉ  ⟹  p<xp \in {\color{orange}a} \ \land \ x \in {\color{orange}\bar{a}} \implies p < x （每個 p∈ap \in {\color{orange}a} 是 aˉ{\color{orange}\bar{a}} 的下界，每個 x∈aˉx \in {\color{orange}\bar{a}} 是 a{\color{orange}a} 的上界）

⚠️ 注意：

  • 這裡用 aˉ{\color{orange}\bar{a}} 來表示「a{\color{orange}a} 的補集」，但在複數系中，這種符號是指共軛複數。

  • aˉ{\color{orange}\bar{a}} 有可能是「封閉性」的，也就是說，aˉ{\color{orange}\bar{a}} 有可能有最小值，例如：如果 a=(−∞,0){\color{orange}a} = (-\infty, 0) ，則 aˉ=[0,∞){\color{orange}\bar{a}} = [0, \infty)，這時 aˉ{\color{orange}\bar{a}} 有最小值 00。

證明

⑴ 非特化： aˉ≠ϕ, Q{\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}

  1. 因為 a{\color{orange}a} 是戴德金分割，根據其定義 DC1 (非特例)： ∃p∈a,∃x∉a\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a}

  2. 因此 p∉aˉ ∧ x∈aˉp \notin {\color{orange}\bar{a}} \ \land \ x \in {\color{orange}\bar{a}}

  3. 因為 p∉aˉp \notin {\color{orange}\bar{a}}，所以 aˉ≠Q{\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\mathbb{Q}}。因為 x∈aˉx \in {\color{orange}\bar{a}}，所以 aˉ≠ϕ{\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi} ▨

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