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🔰向量垂直分解

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 分解 ⟩ 垂直分解

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  • 向量 u\mathbf{u} 可分解成： u=a+b\mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b}，其中 a∥v, b⊥v  (v≠0)\mathbf{a} \parallel \mathbf{v}, \ \mathbf{b} \perp \mathbf{v} \ \ (\mathbf{v} \neq \mathbf{0})

  • 這種分解是唯一的，而且： a=projv(u)=(u⋅vv⋅v)v\mathbf{a} = \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \left(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\right)\mathbf{v} b=perpv(u)=u−a\mathbf{b} = \text{perp}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \mathbf{u} - \mathbf{a}

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  • 這兩個分量都可以看做是 u\mathbf{u} 的線性變換。(可由「內積性質」證明)

  • 這種垂直分解不只二維或三維空間可以用，只要有內積運算的向量空間都可以用。

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