🔰向量垂直分解

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 分解 ⟩ 垂直分解

• 向量 $\mathbf{u}$ 可分解成： $\mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中 $\mathbf{a} \parallel \mathbf{v}, \ \mathbf{b} \perp \mathbf{v} \ \ (\mathbf{v} \neq \mathbf{0})$

• 這種分解是唯一的，而且： $\mathbf{a} = \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \left(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\right)\mathbf{v}$ $\mathbf{b} = \text{perp}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \mathbf{u} - \mathbf{a}$

• 先備：垂直向量性質2、

• 證明： 👉

⭐️ 重點

• 這兩個分量都可以看做是 $\mathbf{u}$ 的線性變換。(可由「內積性質」證明)

• 這種垂直分解不只二維或三維空間可以用，只要有內積運算的向量空間都可以用。

⬆️ 需要

• 垂直向量

• 平行向量

⬇️ 應用

• 繞軸旋轉矩陣

👥 相關

• 矩陣乘法

• 垂直向量

📗 參考

• Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004)

🎖 證明

$\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \left(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\right)\mathbf{v}$

$\text{perp}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \mathbf{u} - \left(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\right)\mathbf{v}$

🎖 證明：

$\mathbf{B} = \dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|²} \begin{bmatrix} v_2^2 + v_3^2 & -v_1 v_2 & -v_1 v_3 \\ -v_2 v_1 & v_1^2 + v_3^2 & -v_2 v_3 \\ -v_3 v_1 & -v_3 v_2 & v_1^2 + v_2^2 \end{bmatrix}$

🎖 證明：

$\text{perp}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \mathbf{u} - \mathbf{Au} = \mathbf{Bu}$

$\mathbf{B} = \mathbf{I-A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|²} \begin{bmatrix} v_1^2 & v_1 v_2 & v_1 v_3 \\ v_2 v_1 & v_2^2 & v_2 v_3 \\ v_3 v_1 & v_3 v_2 & v_3^2 \end{bmatrix}$，其中 $\|\mathbf{v}\|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$

通分後，即可得結果。