🔰阿基米德性質

Archimedean Property

數學 ⟩ 數系 ⟩ 有理數 ⟩ 阿基米德性質

$\forall x, y \in {\color{orange}\mathbb{Q}}^+, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni nx > y$

我們必須找到一個夠大的 $n$，使得 $n\cdot \frac{x}{y} > 1$。

因為 $x, y \in {\color{orange}\mathbb{Q}}^+$，所以 $\frac{x}{y}$ 依然是個正有理數。

假設 $\frac{x}{y}=\frac{q}{p}$，其中 $p,q \in {\color{orange}\mathbb{N}}$：

若我們設 $n=p$，則：

$n \cdot \frac{x}{y}= \cancel{p} \cdot\frac{q}{\cancel{p}} = q$

這時因為 $q \in {\color{orange}\mathbb{N}}$，所以可能 $q=1$，因此 $n=p$ 可能還是不夠大。不過我們只要再調大一點，將 $n$ 設為 $p+1$ 就可以了，因為 $n=p+1$ 時：

$n \cdot \frac{x}{y} = (p+1)\cdot \frac{q}{p} > \cancel{p} \cdot \frac{q}{\cancel{p}} = q \ge 1$

這時我們可以保證 $n$ 足夠大，可以讓 $n\cdot \frac{x}{y} > 1$，因此 $nx>y$ ▨

👥 相關

• 實數的加法性質：A3╱加法反元素： ${\color{orange}a}+ ({\color{orange}-a}) = {\color{orange}\mathbf{𝟘}}$

📗 參考

• wiki ⟩ 阿基米德性質

推論

⑴ $\forall r \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni n > r$ （ ${\color{orange}\mathbb{Q}}$ 沒有最大值 ）

⑵ $\forall \epsilon \in {\color{orange}\mathbb{Q}}^+, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni 0 < \frac{1}{n} < \epsilon$ （ ${\color{orange}\mathbb{Q}}^+$ 沒有最小值 ）

⑴

⑴ $\forall r \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni n > r$ （ ${\color{orange}\mathbb{Q}}$ 沒有最大值 ）

1. 若 $r\le 0$，取 $n=1$ 即可。

2. 若 $r>0$，則在上方的「阿基米德性質」中取 $x=1, y=r$ 即可。 ▨

⑵

⑵ $\forall \epsilon \in {\color{orange}\mathbb{Q}}^+, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni 0 < \frac{1}{n} < \epsilon$ （ ${\color{orange}\mathbb{Q}}^+$ 沒有最小值 ）

在上方的「阿基米德性質」中取 $x=\epsilon, y=1$ 可得： $\exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni n \epsilon > 1$

兩邊同除 $n$ 可得： $\epsilon > \frac{1}{n}$