🔰阿基米德性質

Archimedean Property

數學 ⟩ 數系 ⟩ 有理數 ⟩ 阿基米德性質

∀x,y∈Q+,∃n∈N ∋nx>y\forall x, y \in {\color{orange}\mathbb{Q}}^+, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni nx > y

我們必須找到一個夠大的 nn，使得 n⋅xy>1n\cdot \frac{x}{y} > 1。

因為 x,y∈Q+x, y \in {\color{orange}\mathbb{Q}}^+，所以 xy\frac{x}{y} 依然是個正有理數。

假設 xy=qp\frac{x}{y}=\frac{q}{p}，其中 p,q∈Np,q \in {\color{orange}\mathbb{N}}：

若我們設 n=pn=p，則：

n⋅xy=p⋅qp=qn \cdot \frac{x}{y}= \cancel{p} \cdot\frac{q}{\cancel{p}} = q

這時因為 q∈Nq \in {\color{orange}\mathbb{N}}，所以可能 q=1q=1，因此 n=pn=p 可能還是不夠大。不過我們只要再調大一點，將 nn 設為 p+1p+1 就可以了，因為 n=p+1n=p+1 時：

n⋅xy=(p+1)⋅qp>p⋅qp=q≥1n \cdot \frac{x}{y} = (p+1)\cdot \frac{q}{p} > \cancel{p} \cdot \frac{q}{\cancel{p}} = q \ge 1

這時我們可以保證 nn 足夠大，可以讓 n⋅xy>1n\cdot \frac{x}{y} > 1，因此 nx>ynx>y ▨

  • 實數的加法性質：A3╱加法反元素： a+(−a)=𝟘{\color{orange}a}+ ({\color{orange}-a}) = {\color{orange}\mathbf{𝟘}}

推論

⑴ ∀r∈Q,∃n∈N ∋n>r\forall r \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni n > r （ Q{\color{orange}\mathbb{Q}} 沒有最大值 ）

⑵ ∀ϵ∈Q+,∃n∈N ∋0<1n<ϵ\forall \epsilon \in {\color{orange}\mathbb{Q}}^+, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni 0 < \frac{1}{n} < \epsilon （ Q+{\color{orange}\mathbb{Q}}^+ 沒有最小值 ）

⑴ ∀r∈Q,∃n∈N ∋n>r\forall r \in {\color{orange}\mathbb{Q}}, \exists n \in {\color{orange}\mathbb{N}} \ \ni n > r （ Q{\color{orange}\mathbb{Q}} 沒有最大值 ）

  1. 若 r≤0r\le 0，取 n=1n=1 即可。

  2. 若 r>0r>0，則在上方的「阿基米德性質」中取 x=1,y=rx=1, y=r 即可。 ▨

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