🚧反方陣

🚧 under construction -> prove 1. 2.(1)

線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 運算 ⟩ 乘法 ⟩ 反方陣 ("inverse")

如果 $\mathbf{AB=BA=I}$，我們就說

• $\mathbf{A,B}$ 互為彼此的「反方陣」(inverse)，

• 並分別用 $\mathbf{B}^{-1},\ \mathbf{A}^{-1}$ 代表 $\mathbf{A,B}$，

• 並說 $\mathbf{A,B}$ 為「可逆方陣」(invertible)。

🔸 性質

1. (1) 反方陣是唯一的。 (2) $\mathbf{AB = I} \implies \mathbf{BA = I}$

1. (1) 若 $\mathbf{A,B}$ 為可逆方陣，則：$(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$ (2) 若 $\mathbf{M}$ 為可逆方陣，則：$\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T = \left(\mathbf{M}^{T}\right)^{-1}$

• 證明：(2) $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T \mathbf{M}^T = \left(\mathbf{M} \mathbf{M}^{-1}\right)^T = \mathbf{I}^T = \mathbf{I}$ ▨

• 相關： 變換法向量

⭐️ 重點

1. $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T$ 稱為 $\mathbf{M}$ 的 "inverse transpose"。 👉 變換法向量

👥 相關

• 單位方陣

• 轉置矩陣

• 正交矩陣

📗 參考

• Math for 3D Game ⟩ 2.3 Matrix Inverses