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線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 運算 ⟩ 乘法 ⟩ 反方陣 ("inverse")
如果 AB=BA=I\mathbf{AB=BA=I}AB=BA=I，我們就說
A,B\mathbf{A,B}A,B 互為彼此的「反方陣」(inverse)，
並分別用 B−1, A−1\mathbf{B}^{-1},\ \mathbf{A}^{-1}B−1, A−1 代表 A,B\mathbf{A,B}A,B，
並說 A,B\mathbf{A,B}A,B 為「可逆方陣」(invertible)。
(1) 反方陣是唯一的。 (2) AB=I ⟹ BA=I\mathbf{AB = I} \implies \mathbf{BA = I}AB=I⟹BA=I
(1) 若 A,B\mathbf{A,B}A,B 為可逆方陣，則：(AB)−1=B−1A−1(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}(AB)−1=B−1A−1 (2) 若 M\mathbf{M}M 為可逆方陣，則：(M−1)T=(MT)−1\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T = \left(\mathbf{M}^{T}\right)^{-1}(M−1)T=(MT)−1
證明：(2) (M−1)TMT=(MM−1)T=IT=I\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T \mathbf{M}^T = \left(\mathbf{M} \mathbf{M}^{-1}\right)^T = \mathbf{I}^T = \mathbf{I}(M−1)TMT=(MM−1)T=IT=I ▨
相關： 變換法向量
(M−1)T\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T(M−1)T 稱為 M\mathbf{M}M 的 "inverse transpose"。 變換法向量
單位方陣
轉置矩陣
正交矩陣
Math for 3D Game ⟩ 2.3 Matrix Inverses