🔰「分組式」乘法

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在「表格疊加法」中，我們提到如何將「矩陣乘法」看成是「一連串表格的疊加」。事實上，我們還可以將這些表格「分組」，之後再疊加，結果相同。

⬆️ 需要

• 表格疊加法

⬇️ 應用

• 「塊狀」乘法

🗺️ 圖表

👥 相關

• 類似：「分割式」乘法

📗 參考

• Linear Algebra - A Modern Introduction, 3.1 Matrix Operations ⟩

  • Partitioned Matrices

下圖顯示在「表格疊加法」中，我們如何將 A, B 相對應的行列相乘，然後看成「一連串表格」的疊加：

「表格疊加」法

如果我們進一步將 A, B 矩陣的各行、各列依相同模式「分組」，則由「表格疊加法」所產生的表格也會跟著分組，但不管有沒有分組，我們最後都是對全部表格進行疊加，所以「分組對結果絲毫沒有影響」。

• 例如，在下圖中：

  • A 有 3 行、B 有 3 列，我們將 A 的前兩行分為一組、後一行自己一組。用相同模式，將 B 前兩列分為一組、後一列自己一組。

  • 第一組行列配對相乘，得到兩個表格。
  • 第二組行列相乘，得到一個表格，總共三個表格。

  • 最後進行疊加，結果跟對 AB 直接相乘沒有區別。

「分組式」乘法

從上圖中，我們可以看到：

不管是直接乘，還是分組乘，都會得到相同的三個表格，因此疊加結果也會一樣❗

但這裡要注意以下幾點：

• 這裡所指的「分組」，是將 A 的「各行」分組、B 的「各列」分組。

• A 的各行雖然可以任意分組，但 B 的各列並非可以任意分組，B 的分組模式必須跟 A 一模一樣才行。

• 例如：假設 A 有 6 行，A 如果分為 (2, 1, 3) 行，那麼 B 也必須分為 (2, 1, 3) 列才行❗

我們將這種觀點整理成以下引理：

💍 引理

若 A 的各行分組為 $\begin{bmatrix} {\color{red}\mathbf{A}}_{*1} \ \cdots \ {\color{red}\mathbf{A}}_{*p} \end{bmatrix}$、B 的各列分組為 $\begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{B}}_{1*} \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{B}}_{p*} \end{bmatrix}$，且兩者分組方式是相容的（也就是分組模式一樣），則：

${\color{red}\mathbf{A}} {\color{blue}\mathbf{B}} = \begin{bmatrix} {\color{red}\mathbf{A}}_{*1} \ \cdots \ {\color{red}\mathbf{A}}_{*p} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{B}}_{1*} \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{B}}_{p*} \end{bmatrix} = {\color{red}\mathbf{A}}_{*1} {\color{blue}\mathbf{B}}_{1*} + \cdots + {\color{red}\mathbf{A}}_{*p} {\color{blue}\mathbf{B}}_{p*}$

👉 比較：「分割式」乘法

${\color{red}\mathbf{A}} {\color{blue}\mathbf{B}} = {\color{red}\mathbf{A}}_{*1} {\color{blue}\mathbf{B}}_{1*} + \cdots + {\color{red}\mathbf{A}}_{*p} {\color{blue}\mathbf{B}}_{p*}$

⭐ 註：

• 一般我們用 ${\color{red}\mathbf{A}}_{*j}$ 來表示 Ａ 的「第 $j$ 行」，用 ${\color{blue}\mathbf{B}}_{i*}$ 表示 Ｂ 的「第 $i$ 列」。

• 但這裡，我們刻意用這兩個符號來分別代表 Ａ 的「第 $j$ 個行分組」與 Ｂ 的「第 $i$ 個列分組」，如此一來，這個公式看起來就跟「表格疊加」法中的「定理」一模一樣了。
• 公式裡的每個 ${\color{red}\mathbf{A}}_k {\color{blue}\mathbf{B}}_k$ 都是一組表格 的疊加，至於每組有多少表格，那就要看該組裡面有多少對 (pairs) 的行列向量了。