🔰「分組式」乘法

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ㄝA線代矩陣運算乘法 ⟩ 「分組式」乘法

下圖顯示在「表格疊加法」中,我們如何將 A, B 相對應的行列相乘,然後看成「一連串表格」的疊加

「表格疊加」法

如果我們進一步將 A, B 矩陣的各行、各列依相同模式「分組」,則由「表格疊加法」所產生的表格也會跟著分組,但不管有沒有分組,我們最後都是對全部表格進行疊加,所以「分組對結果絲毫沒有影響」。

  • 例如,在下圖中:

    • A 有 3 行、B 有 3 列,我們將 A 的前兩行分為一組、後一行自己一組。用相同模式,將 B 前兩列分為一組、後一列自己一組。

    • 第一組行列配對相乘,得到兩個表格。

    • 第二組行列相乘,得到一個表格,總共三個表格。

    • 最後進行疊加,結果跟對 AB 直接相乘沒有區別

「分組式」乘法

從上圖中,我們可以看到:

但這裡要注意以下幾點:

我們將這種觀點整理成以下引理:

💍 引理

若 A 的各行分組為 [A1  Ap]\begin{bmatrix} {\color{red}\mathbf{A}}_{*1} \ \cdots \ {\color{red}\mathbf{A}}_{*p} \end{bmatrix}、B 的各列分組為 [B1Bp]\begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{B}}_{1*} \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{B}}_{p*} \end{bmatrix},且兩者分組方式相容的(也就是分組模式一樣),則:

👉 比較:「分割式」乘法

AB=A1B1++ApBp{\color{red}\mathbf{A}} {\color{blue}\mathbf{B}} = {\color{red}\mathbf{A}}_{*1} {\color{blue}\mathbf{B}}_{1*} + \cdots + {\color{red}\mathbf{A}}_{*p} {\color{blue}\mathbf{B}}_{p*}

⭐ 註:

  • 一般我們用 Aj{\color{red}\mathbf{A}}_{*j} 來表示 A 的「第 jj 行」,用 Bi{\color{blue}\mathbf{B}}_{i*} 表示 B 的「第 ii 列」。

  • 但這裡,我們刻意用這兩個符號來分別代表 A 的「第 jj行分組」與 B 的「第 ii列分組」,如此一來,這個公式看起來就跟「表格疊加」法中的「定理」一模一樣了。

  • 公式裡的每個 AkBk{\color{red}\mathbf{A}}_k {\color{blue}\mathbf{B}}_k 都是一組表格 的疊加,至於每組有多少表格,那就要看該組裡面有多少對 (pairs) 的行列向量了。

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