🔰變換法向量

線性代數 ⟩ 向量空間 ⟩ 線性變換 ⟩ 變換法向量

一組切向量 $\mathbf{T}$ 與法向量 $\mathbf{N}$ 會保持垂直，但經過線性變換 $\mathbf{M}$ 變換成 $\mathbf{M}\mathbf{T}$ 與 $\mathbf{M}\mathbf{N}$ 後，之間的垂直關係可能會被打破，這時只要利用 $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T$ 將 $\mathbf{N}$ 轉換成 $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T \mathbf{N}$，就可以讓 $\mathbf{M}\mathbf{T}$ 與 $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T \mathbf{N}$ 再度保持垂直的關係。

• $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T$ 稱為 $\mathbf{M}$ 的 "inverse transpose"。

• 若 $\mathbf{M}$ 為正交矩陣（如：旋轉或鏡射），則 $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T= \left(\mathbf{M}^{T}\right)^T = \mathbf{M}$。

• 證明：👉

👥 相關

• 法向量

• 轉置矩陣

⭐️ 重點

1. $\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T = \left(\mathbf{M}^{T}\right)^{-1}$ 👉 轉置矩陣性質 4

📗 參考

• Math for 3D Game ⟩ 3.5 Transforming Normal Vectors ⭐️

事實上，如果從平面法向量的變化來觀察，也許更自然些。

假設一平面方程式為： $ax+by+cz+d=0$，其法向量為 $\mathbf{N}=[a, b, c]^T$。若設 $\mathbf{P}=[x, y, x]^T$，則原方程式可寫為： $\mathbf{N}^T \mathbf{P} + d = 0$。

如果 $\mathbf{P}$ 點經過線性變換變成另一點 $\mathbf{P}'=\mathbf{M}\mathbf{P}$，則 $\mathbf{P}=\mathbf{M}^{-1}\mathbf{P}'$ 代回原平面方程式可得： $\mathbf{N}^T \mathbf{M}^{-1}\mathbf{P}' + d = 0$，由此可看出新的平面法向量為 $\mathbf{N}'=\left(\mathbf{N}^T \mathbf{M}^{-1}\right)^T$ ，而這正是本文的主要結果：

$\mathbf{N}'=\left( \mathbf{M}^{-1}\right)^T \mathbf{N}$