🚧 under construction -> 子矩陣
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⟩ ⟩ ⟩ ⟩ 「分割式」乘法
在「」的乘法中，我們提到：「乘以，會得到一個表格」，類似九九乘法表。事實上，我們可以進一步將這個表格進行「分割」，然後再填入相對應的數值，結果一樣。
Linear Algebra - A Modern Introduction, 3.1 Matrix Operations ⟩
Partitioned Matrices
在下圖中，我們將 u{\color{blue}\mathbf{u}}u 分割成 u1,u2{\color{blue}\mathbf{u}}_{1}, {\color{blue}\mathbf{u}}_{2}u1,u2，將 v{\color{red}\mathbf{v}}v 分割成 v1,v2{\color{red}\mathbf{v}}_1 , {\color{red}\mathbf{v}}_2v1,v2：
在上圖中，分割表格對填入數值的方式沒有任何影響，我們還是利用類似填九九乘法表的方式，在每個儲存格中填入該有的數值，結果當然會一樣。
有意思的是：
這裡要注意幾點：
我們將這種觀點整理成以下引理：
假設我們將行向量 u{\color{blue}\mathbf{u}}u 分割成 [u1u2⋮um] \begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{u}}_1 \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_2 \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_m \end{bmatrix}u1u2⋮um，列向量 v{\color{red}\mathbf{v}}v 分割成 [v1v2⋯vn]\begin{bmatrix} {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{red}\mathbf{v}}_n \end{bmatrix}[v1v2⋯vn]，則：
uv=[u1u2⋮um][v1v2⋯vn]=[u1v1u1v2⋯u1vnu2v1u2v2⋯u2vn⋮umv1umv2⋯umvn] {\color{blue}\mathbf{u}} {\color{red}\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{u}}_1 \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_2 \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{red}\mathbf{v}}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{u}}_1 {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{blue}\mathbf{u}}_1 {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{blue}\mathbf{u}}_1 {\color{red}\mathbf{v}}_n \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_2 {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{blue}\mathbf{u}}_2 {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{blue}\mathbf{u}}_2 {\color{red}\mathbf{v}}_n \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_m {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{blue}\mathbf{u}}_m {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{blue}\mathbf{u}}_m {\color{red}\mathbf{v}}_n \end{bmatrix}uv=u1u2⋮um[v1v2⋯vn]=u1v1u2v1⋮umv1u1v2u2v2umv2⋯⋯⋯u1vnu2vnumvn
u{\color{blue}\mathbf{u}}u, v{\color{red}\mathbf{v}}v 兩向量的分割方式各自獨立，要怎麼分割都可以，這點跟不同。
圖中的 u1,u2,v1,v2{\color{blue}\mathbf{u}}_{1}, {\color{blue}\mathbf{u}}_{2}, {\color{red}\mathbf{v}}_{1}, {\color{red}\mathbf{v}}_{2}u1,u2,v1,v2 都是用大寫，它們都是 ，不是純數
這些向量也是，這種切割過的矩陣稱為「子矩陣」(submatrix)。
u1v1 ⋯ u2v2{\color{blue}\mathbf{u}}_{1} {\color{red}\mathbf{v}}_{1} \ \cdots \ {\color{blue}\mathbf{u}}_{2} {\color{red}\mathbf{v}}_{2}u1v1 ⋯ u2v2 這些矩陣也都是子矩陣，大小不盡相同，不能當作純數對待
比較：
有趣的是，這跟把 u1 ⋯ um{\color{blue}\mathbf{u}}_1 \ \cdots \ {\color{blue}\mathbf{u}}_mu1 ⋯ um, v1 ⋯ vn{\color{red}\mathbf{v}}_1 \ \cdots \ {\color{red}\mathbf{v}}_nv1 ⋯ vn 看成一般數字然後做沒有差別
