🔰「分割式」乘法

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在「行向量 ⨉ 列向量」的乘法中，我們提到：「行向量乘以列向量，會得到一個表格」，類似九九乘法表。事實上，我們可以進一步將這個表格進行「分割」，然後再填入相對應的數值，結果一樣。

⬆️ 需要

• 行向量 ⨉ 列向量

⬇️ 應用

• 「塊狀」乘法

🗺️ 圖表

👥 相關

• 「分組式」乘法

📗 參考

• Linear Algebra - A Modern Introduction, 3.1 Matrix Operations ⟩

  • Partitioned Matrices

在下圖中，我們將行向量 ${\color{blue}\mathbf{u}}$ 分割成 ${\color{blue}\mathbf{u}}_{1}, {\color{blue}\mathbf{u}}_{2}$，將列向量 ${\color{red}\mathbf{v}}$ 分割成 ${\color{red}\mathbf{v}}_1 , {\color{red}\mathbf{v}}_2$：

「分割式」乘法

在上圖中，分割表格對填入數值的方式沒有任何影響，我們還是利用類似填九九乘法表的方式，在每個儲存格中填入該有的數值，結果當然會一樣。

有意思的是：

${\color{blue}\mathbf{u}}$, ${\color{red}\mathbf{v}}$ 兩向量的分割方式各自獨立，要怎麼分割都可以，這點跟「分組式」乘法不同。

這裡要注意幾點：

• 圖中的 ${\color{blue}\mathbf{u}}_{1}, {\color{blue}\mathbf{u}}_{2}, {\color{red}\mathbf{v}}_{1}, {\color{red}\mathbf{v}}_{2}$ 都是用大寫，它們都是 (行或列) 向量，不是純數❗
• 這些向量也是矩陣，這種切割過的矩陣稱為「子矩陣」(submatrix)。

• ${\color{blue}\mathbf{u}}_{1} {\color{red}\mathbf{v}}_{1} \ \cdots \ {\color{blue}\mathbf{u}}_{2} {\color{red}\mathbf{v}}_{2}$ 這些矩陣也都是子矩陣，大小不盡相同，不能當作純數對待❗

我們將這種觀點整理成以下引理：

💍 引理

假設我們將行向量 ${\color{blue}\mathbf{u}}$ 分割成 $\begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{u}}_1 \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_2 \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_m \end{bmatrix}$，列向量 ${\color{red}\mathbf{v}}$ 分割成 $\begin{bmatrix} {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{red}\mathbf{v}}_n \end{bmatrix}$，則：

${\color{blue}\mathbf{u}} {\color{red}\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{u}}_1 \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_2 \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{red}\mathbf{v}}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{blue}\mathbf{u}}_1 {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{blue}\mathbf{u}}_1 {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{blue}\mathbf{u}}_1 {\color{red}\mathbf{v}}_n \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_2 {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{blue}\mathbf{u}}_2 {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{blue}\mathbf{u}}_2 {\color{red}\mathbf{v}}_n \\ \vdots \\ {\color{blue}\mathbf{u}}_m {\color{red}\mathbf{v}}_1 & {\color{blue}\mathbf{u}}_m {\color{red}\mathbf{v}}_2 & \cdots & {\color{blue}\mathbf{u}}_m {\color{red}\mathbf{v}}_n \end{bmatrix}$

👉 比較：「分組式」乘法

• 有趣的是，這跟把 ${\color{blue}\mathbf{u}}_1 \ \cdots \ {\color{blue}\mathbf{u}}_m$, ${\color{red}\mathbf{v}}_1 \ \cdots \ {\color{red}\mathbf{v}}_n$ 看成一般數字然後做矩陣乘法沒有差別❗