🔰「分割式」乘法
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在「行向量 ⨉ 列向量」的乘法中,我們提到:「行向量乘以列向量,會得到一個表格」,類似九九乘法表。事實上,我們可以進一步將這個表格進行「分割」,然後再填入相對應的數值,結果一樣。
在下圖中,我們將行向量 u 分割成 u1,u2,將列向量 v 分割成 v1,v2:
在上圖中,分割表格對填入數值的方式沒有任何影響,我們還是利用類似填九九乘法表的方式,在每個儲存格中填入該有的數值,結果當然會一樣。
有意思的是:
u, v 兩向量的分割方式各自獨立,要怎麼分割都可以,這點跟「分組式」乘法不同。
這裡要注意幾點:
圖中的 u1,u2,v1,v2 都是用大寫,它們都是 (行或列) 向量,不是純數❗
這些向量也是矩陣,這種切割過的矩陣稱為「子矩陣」(submatrix)。
u1v1 ⋯ u2v2 這些矩陣也都是子矩陣,大小不盡相同,不能當作純數對待❗
我們將這種觀點整理成以下引理:
💍 引理
假設我們將行向量 u 分割成 u1u2⋮um,列向量 v 分割成 [v1v2⋯vn],則:
uv=u1u2⋮um[v1v2⋯vn]=u1v1u2v1⋮umv1u1v2u2v2umv2⋯⋯⋯u1vnu2vnumvn
👉 比較:「分組式」乘法
有趣的是,這跟把 u1 ⋯ um, v1 ⋯ vn 看成一般數字然後做矩陣乘法沒有差別❗