╱additive inverse╱🚧 under construction : -0 = 0, 補集, a <=0 => -a >=0
Last updated 4 months ago
Was this helpful?
數學 ⟩ 數系 ⟩ 實數 ⟩ 建造 ⟩ 加法 ⟩ 反元素
若要定義 a∈R{\color{orange}a} \in {\color{orange}\mathbb{R}}a∈R 的加法反元素 −a{\color{orange}-a}−a，「取 a{\color{orange}a}a 補集再變號」看來是個不錯的選擇：
但如果只是單純這樣做，則會衍生一個問題，也就是「這種有理數子集不一定是戴德金分割」，例如：若 a=(−∞,1){\color{orange}a} = (-\infty, 1)a=(−∞,1)，則「取 a{\color{orange}a}a 補集再變號」 =(−∞,−1]=(-\infty, -1]=(−∞,−1]，這時這個子集不具備「開放性」的性質。不過這個問題不大，我們只要做個小修正就可以，也就是「⑴ 取 a{\color{orange}a}a 補集 ⑵ 去除可能的最小值 ⑶ 再變號」。
aˉ={ x∈Q ∣ x∉a }\bar{\color{orange}a} = \{ \ x \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ x \notin {\color{orange}a} \ \}aˉ={ x∈Q ∣ x∈/a }：⑴ 取 a{\color{orange}a}a 補集
a^={ x∈aˉ ∣ ∃y∈aˉ∋y<x }\hat{\color{orange}a} = \{ \ x \in \bar{\color{orange}a} \ | \ \exists y \in \bar{\color{orange}a} \ni y<x \ \}a^={ x∈aˉ ∣ ∃y∈aˉ∋y<x }：⑵ 去除可能的最小值
−a={ −x∈Q ∣ x∈a^ }{\color{orange}-a} = \{ \ -x \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ x \in \hat{\color{orange}a} \ \}−a={ −x∈Q ∣ x∈a^ }：⑶ 再變號
在上面的定義中，我們將 aˉ\bar{\color{orange}a}aˉ 可能的最小值去除後，變成 a^\hat{\color{orange}a}a^，這樣可以保持開放性，然後再變號，就可以形成一個「戴德金分割」。
加法性質：A2╱加法零元素： a+𝟘=aa + {\color{orange}\mathbf{𝟘}} = aa+𝟘=a
加法性質：A3╱加法反元素： a+(−a)=𝟘{\color{orange}a}+ ({\color{orange}-a}) = {\color{orange}\mathbf{𝟘}}a+(−a)=𝟘
若 −x∈−a -x \in {\color{orange}-a}−x∈−a 則 x∉a x \notin {\color{orange}a}x∈/a
−a{\color{orange}-a}−a 是一個「戴德金分割」
−0=0{\color{orange}-\mathbb{0}} = {\color{orange}\mathbb{0}} −0=0
若 a≤0{\color{orange}a} \le {\color{orange}\mathbb{0}} a≤0，則 −a≥0{\color{orange}-a} \ge {\color{orange}\mathbb{0}} −a≥0
根據−a{\color{orange}-a}−a 定義： x∈aˉ x \in \bar{\color{orange}a}x∈aˉ ，也就是 x∉a x \notin {\color{orange}a}x∈/a ▨
若 a∈R{\color{orange}a} \in {\color{orange}\mathbb{R}}a∈R，則−a{\color{orange}-a}−a 是一個「戴德金分割」
DC1：∃−x∈−a,∃−p∉−a\exists -x \in {\color{orange}-a}, \exists -p \notin {\color{orange}-a}∃−x∈−a,∃−p∈/−a
DC2：−w<−x∈−a ⟹ −w∈−a-w < -x \in {\color{orange}-a} \implies -w \in {\color{orange}-a}−w<−x∈−a⟹−w∈−a
DC3：−x∈−a ⟹ ∃−y∈−a (−x<−y)-x \in {\color{orange}-a} \implies \exists -y \in {\color{orange}-a} \ ( -x < -y)−x∈−a⟹∃−y∈−a (−x<−y)
[DC1]：∃−x∈−a,∃−p∉−a\exists -x \in {\color{orange}-a}, \exists -p \notin {\color{orange}-a}∃−x∈−a,∃−p∈/−a
根據 「戴德金分割定義DC1」： ∃p∈a,∃x∉a\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a}∃p∈a,∃x∈/a
根據 「−a{\color{orange}-a}−a 的性質 1.」：因爲 p∈ap \in {\color{orange}a}p∈a，所以 −p∉−a-p \notin {\color{orange}-a}−p∈/−a（若 −p∈−a -p \in {\color{orange}-a}−p∈−a 則 p∉a p \notin {\color{orange}a}p∈/a，矛盾）
根據 「戴德金分割性質 2.」：因為 x∉a x \notin {\color{orange}a}x∈/a 且 x<x+1x<x+1x<x+1 所以 x+1∉ax+1 \notin {\color{orange}a}x+1∈/a
因此根據 「−a{\color{orange}-a}−a 的定義」： −(x+1)∈−a-(x+1) \in {\color{orange}-a}−(x+1)∈−a
由 2. 與 4. 知： −a≠ϕ, Q{\color{orange}-a} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}−a=ϕ, Q ▨
[DC2]：−w<−x∈−a ⟹ −w∈−a-w < -x \in {\color{orange}-a} \implies -w \in {\color{orange}-a}−w<−x∈−a⟹−w∈−a
若 −w<−x∈−a-w < -x \in {\color{orange}-a}−w<−x∈−a，則 w>xw>xw>x 且 x∉a, ∃y∉a(y<x)x \notin {\color{orange}a}, \ \exists y \notin {\color{orange}a} (y<x)x∈/a, ∃y∈/a(y<x)
根據 「戴德金分割性質 2.」：因為 x<wx<wx<w 且 x∉ax \notin {\color{orange}a}x∈/a，所以 w∉aw \notin {\color{orange}a}w∈/a
又因為 y∉a, y<x<w y \notin {\color{orange}a}, \ y<x<wy∈/a, y<x<w，根據 「−a{\color{orange}-a}−a 的定義」： −w∈−a-w \in {\color{orange}-a}−w∈−a ▨
[DC3]：−x∈−a ⟹ ∃−y∈−a (−x<−y)-x \in {\color{orange}-a} \implies \exists -y \in {\color{orange}-a} \ ( -x < -y)−x∈−a⟹∃−y∈−a (−x<−y)
根據 「−a{\color{orange}-a}−a 的定義」： −x∈−a-x \in {\color{orange}-a}−x∈−a 表示 x∉a, ∃z∉a(z<x)x \notin {\color{orange}a}, \ \exists z \notin {\color{orange}a} (z<x)x∈/a, ∃z∈/a(z<x)
設 y=x+z2y=\dfrac{x+z}{2}y=2x+z，則 z<y<xz<y<xz<y<x
根據 「戴德金分割性質 2.」：因為 z<yz<yz<y 且 w∉aw \notin {\color{orange}a}w∈/a，所以 y∉ay \notin {\color{orange}a}y∈/a
根據 「−a{\color{orange}-a}−a 的定義」：因為 y∉ay \notin {\color{orange}a}y∈/a 且 z∉a,z<y z \notin {\color{orange}a}, z<yz∈/a,z<y，所以 −y∈−a-y \in {\color{orange}-a}−y∈−a
根據 2. 與 4. 得知： −y-y−y 就是我們要找的元素 ▨
🚧 under construction
若 a∈R{\color{orange}a} \in {\color{orange}\mathbb{R}}a∈R，則定義：
