🔰加法反元素 -a

╱additive inverse╱🚧 under construction : -0 = 0, 補集, a <=0 => -a >=0

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若要定義 ${\color{orange}a} \in {\color{orange}\mathbb{R}}$ 的加法反元素 ${\color{orange}-a}$，「取 ${\color{orange}a}$ 補集再變號」看來是個不錯的選擇：

但如果只是單純這樣做，則會衍生一個問題，也就是「這種有理數子集不一定是戴德金分割」，例如：若 ${\color{orange}a} = (-\infty, 1)$，則「取 ${\color{orange}a}$ 補集再變號」 $=(-\infty, -1]$，這時這個子集不具備「開放性」的性質。不過這個問題不大，我們只要做個小修正就可以，也就是「⑴ 取 ${\color{orange}a}$ 補集 ⑵ 去除可能的最小值 ⑶ 再變號」。

若 ${\color{orange}a} \in {\color{orange}\mathbb{R}}$，則定義：

• $\bar{\color{orange}a} = \{ \ x \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ x \notin {\color{orange}a} \ \}$：⑴ 取 ${\color{orange}a}$ 補集

• $\hat{\color{orange}a} = \{ \ x \in \bar{\color{orange}a} \ | \ \exists y \in \bar{\color{orange}a} \ni y<x \ \}$：⑵ 去除可能的最小值

• ${\color{orange}-a} = \{ \ -x \in {\color{orange}\mathbb{Q}} \ | \ x \in \hat{\color{orange}a} \ \}$：⑶ 再變號

在上面的定義中，我們將 $\bar{\color{orange}a}$ 可能的最小值去除後，變成 $\hat{\color{orange}a}$，這樣可以保持開放性，然後再變號，就可以形成一個「戴德金分割」。

👥 相關

• 加法性質：A2╱加法零元素： $a + {\color{orange}\mathbf{𝟘}} = a$

• 加法性質：A3╱加法反元素： ${\color{orange}a}+ ({\color{orange}-a}) = {\color{orange}\mathbf{𝟘}}$

加法反元素性質

1. 若 $-x \in {\color{orange}-a}$ 則 $x \notin {\color{orange}a}$

2. ${\color{orange}-a}$ 是一個「戴德金分割」

3. ${\color{orange}-\mathbb{0}} = {\color{orange}\mathbb{0}}$

4. 若 ${\color{orange}a} \le {\color{orange}\mathbb{0}}$，則 ${\color{orange}-a} \ge {\color{orange}\mathbb{0}}$

性質證明

1

若 $-x \in {\color{orange}-a}$ 則 $x \notin {\color{orange}a}$

根據${\color{orange}-a}$ 定義： $x \in \bar{\color{orange}a}$ ，也就是 $x \notin {\color{orange}a}$ ▨

2

若 ${\color{orange}a} \in {\color{orange}\mathbb{R}}$，則${\color{orange}-a}$ 是一個「戴德金分割」

• DC1：$\exists -x \in {\color{orange}-a}, \exists -p \notin {\color{orange}-a}$

• DC2：$-w < -x \in {\color{orange}-a} \implies -w \in {\color{orange}-a}$

• DC3：$-x \in {\color{orange}-a} \implies \exists -y \in {\color{orange}-a} \ ( -x < -y)$

[DC1]：$\exists -x \in {\color{orange}-a}, \exists -p \notin {\color{orange}-a}$

1. 根據 「戴德金分割定義DC1」： $\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a}$

2. 根據 「${\color{orange}-a}$ 的性質 1.」：因爲 $p \in {\color{orange}a}$，所以 $-p \notin {\color{orange}-a}$（若 $-p \in {\color{orange}-a}$ 則 $p \notin {\color{orange}a}$，矛盾）

3. 根據 「戴德金分割性質 2.」：因為 $x \notin {\color{orange}a}$ 且 $x<x+1$ 所以 $x+1 \notin {\color{orange}a}$

4. 因此根據 「${\color{orange}-a}$ 的定義」： $-(x+1) \in {\color{orange}-a}$

5. 由 2. 與 4. 知： ${\color{orange}-a} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$ ▨

[DC2]：$-w < -x \in {\color{orange}-a} \implies -w \in {\color{orange}-a}$

1. 若 $-w < -x \in {\color{orange}-a}$，則 $w>x$ 且 $x \notin {\color{orange}a}, \ \exists y \notin {\color{orange}a} (y<x)$

2. 根據 「戴德金分割性質 2.」：因為 $x<w$ 且 $x \notin {\color{orange}a}$，所以 $w \notin {\color{orange}a}$

3. 又因為 $y \notin {\color{orange}a}, \ y<x<w$，根據 「${\color{orange}-a}$ 的定義」： $-w \in {\color{orange}-a}$ ▨

[DC3]：$-x \in {\color{orange}-a} \implies \exists -y \in {\color{orange}-a} \ ( -x < -y)$

1. 根據 「${\color{orange}-a}$ 的定義」： $-x \in {\color{orange}-a}$ 表示 $x \notin {\color{orange}a}, \ \exists z \notin {\color{orange}a} (z<x)$

2. 設 $y=\dfrac{x+z}{2}$，則 $z<y<x$

3. 根據 「戴德金分割性質 2.」：因為 $z<y$ 且 $w \notin {\color{orange}a}$，所以 $y \notin {\color{orange}a}$

4. 根據 「${\color{orange}-a}$ 的定義」：因為 $y \notin {\color{orange}a}$ 且 $z \notin {\color{orange}a}, z<y$，所以 $-y \in {\color{orange}-a}$

5. 根據 2. 與 4. 得知： $-y$ 就是我們要找的元素 ▨

3

🚧 under construction

4

🚧 under construction