🔸identity╱乘法單位元素

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代數 ⟩ 環 ⟩ 乘法單位元素╱identity╱unity

「環╱ring」中如果有「非零元素 ${\color{orange}\mathbf{1}}$ 」符合以下條件 ：

• M2：乘法單位元素： ${\color{orange}\mathbf{1}} a=a {\color{orange}\mathbf{1}}=a$

則稱此元素為「乘法單位元素╱unity╱identity」

🔸 性質

1. 若 $(\mathbf{R,+,\cdot)}$ 不只有一個元素，則： $1 \neq 0$

• 註：為了省掉一些旁枝末節的麻煩，我們不討論「只有一個元素」的環 (ring)。

• 🎖 證明：若 $1=0$，設 $a ≠ 0$，則 $a = a1 = a0 = 0$，顯然矛盾。

⭐️ 環

「環╱ring」 $(\mathbf{R,+,\cdot)}$ 的兩個必要運算：

• 加法： $a+b \in \mathbf{R}$ (加法封閉性)

• 乘法： $a\cdot b \in \mathbf{R}$ (乘法封閉性) (註：習慣上會省略乘法符號)

而且這兩個運算符合以下 7 條件：

• A1：加法結合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$

• A2：加法單位元素 $\mathbf{0}$，使得 $a + \mathbf{0} = a$

• A3：加法反元素 $-a$，使得 $a+ (-a) = \mathbf{0}$

• A4：加法交換律： $a+b=b+a$

• M1：乘法結合律： $(ab)c=a(bc)$

• D1：左分配律： $a(b+c)=ab+ac$

• D2：右分配律： $(a+b)c=ac+bc$

👥 相關

• A field is a commutative ring with unity in which every nonzero element is a unit.

📗 參考

• Contemporary Abstract Algebra (2017)