🔰向量垂直分解矩陣

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 射影向量 ⟩ 向量垂直分解矩陣

• 向量 $\mathbf{u}$ 可分解成「沿著 $\mathbf{v}$ 向量」與「垂直 $\mathbf{v}$ 向量」的兩個分量：$\mathbf{u} = \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) + \text{perp}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u})$

• 其中： $\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \left(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\right)\mathbf{v} = \mathbf{Au}$ $\text{perp}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \mathbf{u} - \left(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\right)\mathbf{v} = \mathbf{Bu}$ $\mathbf{A} = \dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|²} \begin{bmatrix} v_1^2 & v_1 v_2 & v_1 v_3 \\ v_2 v_1 & v_2^2 & v_2 v_3 \\ v_3 v_1 & v_3 v_2 & v_3^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{v_1\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} & \dfrac{v_2 \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} & \dfrac{v_3 \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} \end{bmatrix}$ (證明) $\mathbf{B} = \dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|²} \begin{bmatrix} v_2^2 + v_3^2 & -v_1 v_2 & -v_1 v_3 \\ -v_2 v_1 & v_1^2 + v_3^2 & -v_2 v_3 \\ -v_3 v_1 & -v_3 v_2 & v_1^2 + v_2^2 \end{bmatrix}$

⭐️ 重點

如果我們知道 $\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u})$ 是一個線性變換，就可以推導出：

• $\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \begin{bmatrix} \dfrac{v_1\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} & \dfrac{v_2 \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} & \dfrac{v_3 \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} \end{bmatrix} \mathbf{u}$

因為此線性變換的三個行向量就是三個基底向量 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 在向量 $\mathbf{v}$ 上的投影，例如：

• $\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{i}) = \left(\dfrac{\mathbf{i}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\right)\mathbf{v} = \dfrac{v_1\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²}$

🎖 證明

$\mathbf{A} = \dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|²} \begin{bmatrix} v_1^2 & v_1 v_2 & v_1 v_3 \\ v_2 v_1 & v_2^2 & v_2 v_3 \\ v_3 v_1 & v_3 v_2 & v_3^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{v_1\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} & \dfrac{v_2 \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} & \dfrac{v_3 \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|²} \end{bmatrix}$

🎖 證明： 👉 射影向量的矩陣表示法

$\mathbf{B} = \dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|²} \begin{bmatrix} v_2^2 + v_3^2 & -v_1 v_2 & -v_1 v_3 \\ -v_2 v_1 & v_1^2 + v_3^2 & -v_2 v_3 \\ -v_3 v_1 & -v_3 v_2 & v_1^2 + v_2^2 \end{bmatrix}$

🎖 證明：

$\text{perp}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \mathbf{u} - \mathbf{Au} = \mathbf{Bu}$

$\mathbf{B} = \mathbf{I-A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|²} \begin{bmatrix} v_1^2 & v_1 v_2 & v_1 v_3 \\ v_2 v_1 & v_2^2 & v_2 v_3 \\ v_3 v_1 & v_3 v_2 & v_3^2 \end{bmatrix}$，其中 $\|\mathbf{v}\|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$

通分後，即可得結果。

⬇️ 應用

• 對特定軸的旋轉矩陣

👥 相關

• 矩陣乘法

📗 參考

• Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004)