線性獨立

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⟩ ⟩ 線性獨立 ("linearly independent")

如果一組向量 $\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \}$ 符合以下條件：

$a_1\mathbf{v_1} + a_2 \mathbf{v_2} \cdots + a_n \mathbf{v_n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$

我們就說這組向量「線性獨立」。反之，則說這組向量「線性相依」(linearly dependent)。

若 $\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \}$ 線性獨立，則： $\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \}$ 皆為非零向量。

證明：假設 $\mathbf{v_1}$ 是零向量，則 $1\mathbf{v_1} = \mathbf{0}$ ，如此會導致 $\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \}$ 沒有線性獨立，即矛盾。其餘以此類推。

證明： (3) 設 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots \mathbf{v}ₙ \}$ 為一組非零向量、兩兩垂直。假設 $a_1\mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n=0$ ，若對 $\mathbf{v}_1$ 做內積，可得 $a_1 \|\mathbf{v}_1\|^2=0$ ，但因爲 $\|\mathbf{v}_1\| \neq0$ ，所以 $a_1=0$ ，同理，其他係數也都是 0，故得證。

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如果一組向量 $\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \}$ 符合以下條件：

$a_1\mathbf{v_1} + a_2 \mathbf{v_2} \cdots + a_n \mathbf{v_n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$

我們就說這組向量「線性獨立」。反之，則說這組向量「線性相依」(linearly dependent)。

若 $\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \}$ 線性獨立，則： $\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \}$ 皆為非零向量。

證明：假設 $\mathbf{v_1}$ 是零向量，則 $1\mathbf{v_1} = \mathbf{0}$ ，如此會導致 $\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \}$ 沒有線性獨立，即矛盾。其餘以此類推。

證明： (3) 設 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots \mathbf{v}ₙ \}$ 為一組非零向量、兩兩垂直。假設 $a_1\mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n=0$ ，若對 $\mathbf{v}_1$ 做內積，可得 $a_1 \|\mathbf{v}_1\|^2=0$ ，但因爲 $\|\mathbf{v}_1\| \neq0$ ，所以 $a_1=0$ ，同理，其他係數也都是 0，故得證。