🔰線性獨立

線性代數向量空間 ⟩ 線性獨立 ("linearly independent")

  1. {v1,v2,,vn}\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \} 線性獨立,則:{v1,v2,,vn}\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \} 皆為非零向量

  • 證明:假設 v1\mathbf{v_1} 是零向量,則 1v1=01\mathbf{v_1} = \mathbf{0},如此會導致 {v1,v2,,vn}\{ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \} 沒有線性獨立,即矛盾。其餘以此類推。

  • 證明: (3) 設 {v1,v2,vn}\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots \mathbf{v}ₙ \} 為一組非零向量、兩兩垂直。假設 a1v1+a2v2++anvn=0a_1\mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n=0,若對 v1\mathbf{v}_1 做內積,可得 a1v12=0a_1 \|\mathbf{v}_1\|^2=0,但因爲 v10\|\mathbf{v}_1\| \neq0,所以 a1=0a_1=0,同理,其他係數也都是 0,故得證。

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