✖️內積

線性代數 ⟩ 向量 ⟩ 運算 ⟩ 內積 (🈯 同義詞："dot product", "inner product", "scalar product")

⭐️ 這裡定義的內積只適用於 Rn\mathbb{R}ⁿ ，更廣義的內積，要依相對的向量空間而定❗️

若 u=(u1,u2,⋯ ,un)\mathbf{u} = ( u_1 , u_2 , \cdots , u_n )、 v=(v1,v2,⋯ ,vn)\mathbf{v} = ( v_1 , v_2 , \cdots , v_n ) ，定義向量內積為：

u⋅v=u1v1+u2v2+⋯+unvn\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n

  1. (交換律)：u⋅v=v⋅u\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}

  2. (分配律)：u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}

  3. (類結合律)：k(u⋅v)=(ku)⋅v=u⋅(kv)k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) = (k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}\cdot(k\mathbf{v})

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