雙曲線上兩點的最短距離

題目：

A(a, 1/a) , B(27, 1/27) 為曲線 xy = 1 上兩點 (a < 0)，求 a = ? 時 $\overline{AB}$ 有最小值。

解答：

[Desmos]

設 c = 27，則：

$$\overline{AB}=\sqrt{(a-c)^2 + (\frac{1}{a} - \frac{1}{c})^2 }$$

設：

$$\begin{aligned} f(a)&=(a-c)^2 + (\frac{1}{a} - \frac{1}{c})^2 \end{aligned}$$

接下來，利用 $f'(a)$ 來計算最小值的地方：

$$\begin{aligned}f'(a)&=2(a-c) + 2\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{c}\right)\left(-\frac{1}{a^2}\right) \\& =2(a-c) + 2\left(\frac{a-c}{ac}\right)\left(\frac{1}{a^2}\right) \\&= 2(a-c)\left( 1 + \frac{1}{ca^3}\right)\\&= 2(a-c)\left( \frac{ca^3+1}{ca^3}\right)\\&= \frac{2}{a^3}(a-c)\left( a^3+\frac{1}{c}\right)\end{aligned}$$

當 $f'(a) = 0$ 時，$a=-\frac{1}{\sqrt[3]{c}}=-\frac{1}{3}$

$$a=-\frac{1}{\sqrt[3]{c}}=-\frac{1}{3}$$

(注意：a < 0, 所以 a = c 不合)

這時，$a<-\frac{1}{3}$ 時，$f'(a) < 0$ ，$a > -\frac{1}{3}$ 時，$f'(a) > 0$ ，所以知道 $a = -\frac{1}{3}$ 時有最小值。